координатами {р, q), где

Р = Po + epi-jr е2 + ..., eg = egi + eq2 + едз + • •. (5.5.2)

Из аналитичности функции Н в области D следует, что существует такое б = б(Я, е) > О, что ири р-ро S, рД и 0< g <: 2л выполнены неравенства

ЭЯр (Р) о „ст4-1-fels (5.5.3)

dp"

где s > О, а Qo не зависит от е, б и А; = 1, ..., пг.

Наша цель заключается в исключении из гамильтониана переменной д, т. е. в приведении к нормальной форме в окрестности особой точки Ро. Эта цель будет еще больше расширена в следующих параграфах.

Пусть каноническое нормализующее преобразование определяется производящей функцией

S{P, q)=Pq + AS{P, q),

где функция A<S определена в некоторой области Q по Р при О g < 2л и имеет порядок О (г) (г>0). Величина г зависит от S, от порядка а наинизших членов в Н, содержащих угловую переменную д, и от т. Предполагается также, что новый гамильтониан К{Р) может быть записан в виде

К{Р)=Ко{Р)+АК{Р),

где функция АК{Р) определена в области Q и имеет некоторый порядок О(е) (Р>0). Все вещественные числа s, г, р априори неизвестны и должны быть определены но числам а, т. Уравнение энергии

HP +

(5.5.4)

разложенное в ряд Тейлора, дает

J дН„ {Р} I dAS Qpk \ дд

Яо(Р)+2

+ ...

1 in +Zw--

gph \ dq

нлР)+ 21 () +...-клP) + K(P.

(5.5.5)

так что, как и обычно, Ко{Р) - Но{Р). Следующее приближение в 5 (в A<S) надо использовать для уничтожения g в Ha{P,q), если предполагается, что все функции Н\, ..., Яа-i не зависят

ОТ q. В силу сделанных иредноложений получаем, что прп достаточно малых е функция А5 должна удовлетворять уравнению

где а> i, т> 1 - заданные целые числа. Кроме того, положим AK = KiiP)+...+ K.-i{P)+K.iP) +..., {5.5.7)

К,{Р)=Щ{Р) (/= 1, .... а-1)-. Из уравнения (5.5.6) следуют соотношения

{m+l~k)s + kr = a {k=i,...,m), (5.5.8) так что необходимо выполнение равенства

г = . = ;;, (5.5.9)

которое является решением уравнений (5.5.8) для всех к.

Этп условия определяют то, что мы называем областью колебаний, т. е. область, содержаш;ую центр и ограниченную замкнутой сепаратрисой.

В случае а = 1 и тп = i мы получаем классический результат г= 5=1/2, т. е. разложения S{P, q) и К{Р) ведутся по степеням квадратного корня из малого параметра 8. Идея разложения но степеням квадратного корня очень стара и, как уже упоминалось выше, вытекает из теории Вейерштрасса об умножении степенных рядов. Она естественным образом появилась из работ Бохлина [13] о колебательных движениях. В нашпх работах мы в основном полагали, что вблпзп ро функция Н ведет себя как

Я~ [p-por-fip, q)+Eg{p. q).

где f{po, q) "0. В классической постановке ттг = 1.

Хотя это и не является необходимьш, iibi оипшег простейший и в действительности наиболее обшпй случай а = 1, m = 1, т. е. можно записать

SPq + Su2{P, Я) +SiiP, q) . ..

К = Щ(Р) + К,{Р) + Кг,2{Р) +К2{Р) +.... 17 г. Е. о. Джакалья

0-4-Hi[J + я,(Р. д) = К,(Р). (5.5.10)

где штрихи означают дифференцирование по Р.

Д.ЛЯ определения функнии Ki{P) мы истребуем, чтобы точка {р, q) была ненодвижноп точкой преобразования, определяемого функцией S. Так как функция Я1 (Р, q) непрерывна и периодична но q, то мы можем найти Ki в виде

К,{Р) = minЯ(Р,д)=Я1 (Р. g"i(P)), (5.5.1I)

где функция q:{P) такова, что

- >о

ДЛЯ всех Р е J2. Ясно, что так как функция Я аналитична, то q - qi{p)= 0(г) или д - qi{po) = 0{г). Пусть F:(P, q)=H,{P, q)-Ki{P),

так что, очевидно, функция Fi{P, q) положительна при PsQ и О g < 2л, за исключением значений g = gi (/*), при которых она равна нулю. Функпия S1/2 теперь определяется из уравнения Бохлина

При q = qi{P) и Р = Ро получаем, что 55i/2/<9g = 0.Так как в этом приближении

-+. Q = " + .

ТО из предыдущего равенства находим, что рассматриваемая неподвижная точка является центром, если Si/2 удовлетворяет равенству dSii2/dP = О ири Р = Ро.

Для простоты перепишем уравнение (5.5.12) в виде

(dwY

+ (5.5.13)

где F{P, q) > О, F(P, gi(P)) = О, а 4 = <9(е0 и В ограничено снизу ири малом е. При этих условиях получаем, что, так как

так как легко проверить, что Ко{Р) =Но{Р), Ki,2{P) =6. Из

(5.5.5) следует, что уравнение первого порядка для определения функций 5i/2 и Ki имеет вид