|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 функция F{P, q) является нериоднческой но q, то она является также четной функцией этой переменной, т. е. F{P, q) = = F{P, -q) и, следовательно, ее можно записать в виде = 2 aj{P)sing. Пусть всегда выполнено равенство Л2 1 = max F{P, q). (5.5.14) Тогда функция а, зависящая от Р, больше нуля. Функция (Л q)--F{P, д) такова, что шах ¥ (Р, q) = i (g = ±л/2), <<2} min¥ (/>,?) = О (д = 0), Ч{Р, q)W(P, -q) И она, следовательно, может быть записана в виде (Л д) = 2 PH)sin2i?. ft /Р Будем предполагать, что Р,»1, М<1 (/>2). Исключая тогда случай Л = О, получим (5.5.15) где Л = AIB. Мы также вредположпм, что Л > С. Случай Л < О соответствует аналогичной формуле с заменой Л за Л и соответствующей заменой знаков. Очевидно, возможны следующие случаи: а < 1 ~ колебания, а > 1 ~ вращения, а == 1 - сепаратриса или седловые точки. = i?( -1 + СП и) dq II = i?(-l -Ь dn и) в случае колебаний и вращений соответственно. Знаки плюс или минус, разумеется, несущественны, так как функция спи изменяет знак через каждую половину периода 2К, при вещественных значениях и функция dn и всегда положительна. Так как в последнем случае требуется выполнение точного равенства, то он нмеет значение только в предельном приближении к S, ж то, если ряд для S сходится. Если а < 1, то функция {Р, д) не может достичь своего предельного значения (единицы), т. е. существуют такие значения д := ди д =д2, ЧТО Х1Г(Р, gi) =Ч(Р, д2)=о\ и в рассмотренном выше случае gi = - дг- Значения д\ и дг являются граничными точками колебаний. Если а > 1, то функция Ч*" (Р, д) принимает все возможные значения, угол g неограничен и g имеет (в среднем) постоянный знак. Теперь введем модуль k = min{a, а~) и эллиптический интеграл U, определяемый формулой W {Р, д) - sn к = sn и (колебания) {Р, q) = snEi (вращения), где sntt = sn(tt, А;) - эллиптическая функция Якоби sn с модулем к ж амплитудой ф, которая определяется формулой amii = ф = arcsin (колебания) или формулой am ы = фд = arcsin (вращения). В обоих случаях максимальное значение амплитуды равно я/2 и совпадает с д = gi или q = дг (колебания) или с g = я/2 (вращения). Переменная и совершает полный оборот с периодом 4К, где К - полный эллиптический интеграл первого рода (Jt \ -g-, kj. Модуль к зависит от Р. Уравнение для W теперь можно переписать в виде / 9W (Sin2g)c = 2 /1,-Sn2(2i+I)u. В обоих случаях мы можем написать smq =2 £,-sn2(2/+i)u. где Bj<Bo (/1), 5о ж а2 в случае колебаний и Во « 1 в случае вращений. Мы также находим, что sin g = 2 С j ./•=0 где Co{L) = а и Со{С) = 1. Кроме того, \С\ < Со при / 1. Выражение для cos зависит от типа движения. В общем случае мы имеем cos q = 1-sin д = 1- (Во sn u -j- Bi sn w -f.. .). В случае колебаний Во ~ = k, так что добавляя и вычитая величину asnu, находим cosq = dnM-[(Во -a2)snw-fBisna+...], и все коэффициенты Во-а, Bi, ... малы по сравнению с единицей. Так как к = а <. i, то из выппсанных выше рядов мы получим сходящееся выражение (cos q)] = dnu l + 2£;sn2w где Д < 1. В случае вращений Во я::: 1, так что добавляя и вычитая нз cos2 q величину sn и, находнм cos q = спи- [ (Во - 1) sn2 W + Bl sn W +...], где коэффициенты Во-1, i?i, ... малы по сравнению с Рассмотрим случай, когда Ч" - четная функция и 2 = - ffi, т. е. имеются симметричные колебания относительно колебательного центра. Отсюда следует, что Чь {РЧ)= о " = 2 [Р) sin-- q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0133 |
|