262 гл. V. РЕЗОН.ШСЫ

единицей. Следовательно,

" оо оо

(cos q)c = СП w 2 S Ец tn* и sn и+ 1 [i=i j=i

где \E,i\ < I.

Наконец, расс]иатривая ряды Фурье для sn и, сп и, tn и, dn и, можно записать функции cos д, sing и (Р, q) в виде рядов Фурье по и. Функция q = q{u) легко получается с помощью выписанных выше соотношений и тождества

А-(sin q) cos q.

da cnw 2;,sn2W.

В случае колебаний находи.м

dq

где Foa. Отсюда следует выражение

= -i?g +/? j cnw(-) du= - Rq- Fj sncn иdu,

которое в общем случае состоит из эллиптических интегралов, представленных сходящимися рядами Фурье относительно sin {]ли/2К) плюс линейный член по и. Аналогичный характер имеет связь между дь и и, т. е.

gj;, = 2 Pj cnwsnwdw,

где Fo a. Существенно, что переменная p находится из соотношения

и В случае колебаний

р = Р -Ь /? (-1 + СП = Р - + СП W,

так что р колеблется около среднего значения

Но iP)

= dn W 2 2 " "

dq

где Goo « 1 и < 1 для всех другпх индексов. Следовательно, имеем выражение

Wc = - RHi 2iGi} \tn-u sni и dn- и du.

i=o }=0

которое также состоит из эллиптических интегралов, представляемых рядами Фурье по и. В этом случае находим

р== Р - R{i - dnu) +-dnu.

Яр Я(,

п среднее значение р определяется формулой

я; + я; 2

Максимальное значение /> соответствует величине w = О, 2,ЙГ, (д - 0), а минимальное - W = .ЙГ, 3/f [д - или д = д2).

6. Асимптотические разложения до любого порядка

Чтобы сделать законным формальный подход вычисления приближения первого порядка, который описан в предыдущем параграфе, надо показать, как получить решения для высших приближений. Для приближения любого порядка мы потребуем, чтобы функция AS была стационарной в колебательном центре.

Уравнение для членов порядка г будет иметь вид

dS, , 1

- 0 -j + i- о (--J 4- я; = Ksr- (Р)

Тем не менее, мы отметим, что в колебательном центре коэффициент прн dSJdg обращается в нуль и функция S\ становится в этой точке неопределенной. Следовательно, в уравнение мы должны дибавптъ член наименьшего порядка (большего нлн равного.

и достигает максимального значения прп = О цлп ь = АК, и минимального значенпя прн и = 2К. В случае вращений находим

dq 2 "К dq

из которого, так же как и в первом приближении, находим или 8\,

Вдали от колебательного центра квадратичный член (т. е. член 0(8)) в (5.6.1) не вносит ошибки, так как он имеет более высокий порядок. По мере приближения к центру каждый член в (5.6.1) стремится к нулю как е. Следовательно, в пределе F3/2 - О, и координаты центра не изменились. Тем не менее, амплитуда колебаний может измениться на величину, порядок которой может быть больше 8. Этого не случится в следующем приближении ири определении 3/2, так как в общем случае Яг Ф 0. Уравнение для следующего приближения будет иметь вид

"i- + J + WHP, ,)=А-«(Р). (5.6.4,

И координаты колебательного центра теперь изменятся на велп-чину q2 (Р), являющуюся решением уравнений

££Чр П dWHP,q) а в силу исходного предположения об аналитичности имеем

ff-ff2=0(82)-.

3/2), который содержит {dSJdq). Таким образом, мы перепишем вышеприведенное уравнение в виде

{НоН1)Ц + н1{Ц] + UsniP, )-К,,,{Р).{Ъ.ЬЛ)

где член С/з/г определяется из предыдущего уравнения. Так как член Hzi2 отсутствует, то ошибка в определении qi (Р) (точка минимума функции UsiiP, q)) пмеет порядок малости 0(е) по сравнению с величинами из рассматриваемого уравнения и, следовательно, допустима. Таким образом, мы определяем

K3!2{P}-Us/2{P,qi{P)).

Положим

из/2-Кз/2 = Рз/2{Р, д)-

Определяя теперь

Д5" = Sii2 + (5.6.2)

из уравнений (5.5.12) и (5.6.1) получаем уравнение

Но- +Н1 {У + (Р, ,) = О, (5.6.3)