6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 265

Предыдугцие приближения соответствующим образом исправляются, и уравнение (5.6.4) дает улучшенное решение. Можно теперь легко показать, что процесс может быть повторен до приближения любого порядка, так что в общем случае

я; £ + 4-я; ()Ч "+Чл.) = 0.

Если процесс сходится, то мы, очевидно, получаем

соответственно, еслп

Г-

2 max (Р, 5) = А р < 1.

Только в таком предельном приближении, еслп оно существует, можно определить асшмптотическое движение. Сепаратриса определяется условием

В этом случае соответствующее преобразование, очевидно, имеет вид

что дает

= - (- 1 4- sch и).

dl Hi

и точка g .= О соответствует точке и = оо. Отсюда следует, что

Р=:Р--1- (1- SChu),

и предельное значение р определяется формулой

Риш = Р-Н/Н-,

которая в точности совпадает с формулой для среднего значения в колебательном движении.

В общем случае, как уже говорилось, сходимости рядов можно добиться только для конечных интервалов времени Т = 0(8") независимо от того, сколько приближений учитывается (см. [52]).

7. Общая теория и идеальная резонансная проблема

Рассмотрим гамильтониан

Н = Щ{х) +Hi{x, у) + Н2{х, у) + ... = const,

где Hi, Яг, ...- периодические функции у с периодом 2я. Рассмотрим топологию фазовой плоскости {у, х) с траекториями Н{х, у) = const. Предположим, что в этой плоскости имеется центр и две седловые точки, которые после соответствующего преобразования мы будем считать расположенными следующим образом:

центр: х = х, у = щ yS7 1

седла: х = х, у = 0 (2л). \o.i.i)

Если теперь рассмотреть точку Xq и тейлоровское разложение Я вблизи этой точки, то мы найдем

Я = Яо (ао) + Но (хд) {X - ао) + - Н1 (х,) {х - ху + ...

... + Нг {хо, у) + Н[ {х„ у){хх,)+ ... = const. (5.7.2)

где штрихом обозначено дифференцирование но х. Здесь мы последуем подходу, основные черты которого предложены в работах Хори [45] и который затем детально развит в работах Жуппа [47], [48]. Мы здесь также будем предполагать, что, как и обычно, функции Нр(х,у) при р> i можно разложить в ряды Фурье (которые мы будем считать быстро сходящимися) и что Я является четной функцией у, хотя последнее ограничение можно довольно просто устранить. Отсюда следует, что функции Яр(х, у) при р> i можно записать в виде

Нр{х, у) = Ap{x)cosny. (5.7.3)

Мы рассмотрим классический случай \х -Хо\ = 0{е). Это связано с поведением функции Hq[x) в окрестности точки Xq, как уже упоминалось в предыдущих параграфах. Отсюда следует, что «главной» частью функции Я, за исключением константы, является функция

Ях = Вб + 4 Вб2 + А\ (х,) cos г/ = Вб + у ВЬ + А cos у, (5.7.4)

Очевидно, что уравнения (5.7.7) имеют равновесные решения

В

б у-О, л, (2л).

и также очевидно, что решение г/ = л, б = -В/В является центром, в то время как решения г/ = О, 2л и б = -В/В являются неустойчивыми (седловыми) точками. Пусть при t = О имеем б = О, г/ = л. Определим г\ = г/-л. Тогда гамильтонпан (5.7.6) при С = -Л -1- const принимает внд

F =Вб + yS62-f 2Лз1н2уТ]. (5.7.8)

который Я1?ляется новым «интегралом энергии». Наконец, пусть даны формулы

2Л=о2 = 0(е), 5=4" 4" описывающие каноническое преобразование (б, ii)~(l, ц)

где А, В, В-постоянные величины, а 6 = х-хо- Мы будем считать Л > 0. Случай Л < О получается из рассмотренного ниже случая очевидными модификациями. Оставшаяся часть гамильтониана может быть записана в виде ряда Фурье, коэффп-циентами которого являются полиномы относительно б:

Я = Я1 + Яг + Яз + ... (5.7.5)

Каждая функция Hp имеет конечное число членов относительно б, но тригонометрических членов может быть бесконечно много. Будет также показано, что функцию (5.7.5) можно привести к виду (5.7.4), который соответствует так называемой идеальной резонансной проблеме. Такая редукция будет вкратце оннсапа в конце настоящего параграфа.

Рассмотрим теперь систему уравнений, соответствующую гампльтонпану (5.7.1), который перепишем в виде

7{,=~~F = В8 + А-Вб2 + Л cos г/ - С = const, (5.7.6)

пренебрегая членами порядка выше 0(e). Отметим, что jMBi считаем максимальное значение В величиной порядка (е), величина В конечна и не мала, т. е. порядка 0(1), а Л = 0(8). Уравненпя движения, соответствующие 1ампльтонпану (5.7.6), имеют внд

s д 9F „,