Отсюда следует, чго

F = 1 + аЧту], (5.7.9)

где в соответствип с вышеупомянутыми начальными условиями при t = О имеем rj = О и g = 2В/В\ т. е. значение F вполне определено. Теиерь становится ясна важность аналогии с маятником.

Положениями равновесия системы с гамильтонианом (5.7.9) являются точкп:

устойчивая (центр): >! = О, 1 = 0;

неустойчивые (седла): ц = ±л/2, = О,

и мы считаем = 0{е).

Если это же преобразоваиие проделать над введенным выше полным гамильтонианом, то мы найдем

H = F + F{t2yi), (5.7.10)

где функпии Fp{l. 2tj) являются рядами Фурье относительно 2т] и их коаффициенты являются полиномами относительно .

Решение главной (идеальной) задачи, соответствуюи];ей функции Гамильтона F, хорошо известно и получено с помои];ью метода Цейпеля (см., например, [48]), а аналогия с маятником детально разработана Кинером [52]. В первой из упомянутых работ приводится решение для приближений любого порядка, хотя в оби];ем случае это приводит к появлению гиперэллиптических интегралов. 1ошоние для приближения первого порядка (члены 0(е")) в основном такое же, как и в § 5 настоящей главы.

Основное отличие от описанного выше подхода заключается в том, что вместо использования колебательного центра исходной системы в качестве начальной точки для получения разложений вида (5.7.2) можно использовать произвольную точку xq. Эта точка Хо может быть взята и из области колебаний, и из области вращений. Однако ее не.льзя взять на сепаратрисе или принять за нее неустойчивые точки, так как в этих случаях разложение пе может быть сходящимся и в действительностп оно лишено смысла. Эти движения можно получить только как предельные случаи вращений или колебаний. Такие предельные случаи первоначально изучались Пуанкаре [68], а самые последние исследования описаны в статье Гарфинкеля и др. [29, 30].

Интересно посмотреть, как эту задачу можно решить с помощью рядов Ли. Рассмотрим, например, подход Ли - Хори. Главной частью в Н является функция F, и она является га-

мильтонианом дополнительной системы

£l = o)sm2ii. =-J-2l, (5.7.11) dx дх\ dx ос,

так ЧТО мы получаем уравнонне маятника

2(o2sin2ri=0.

Различие между колебательным, врап];ательным пли асимптотическим характером движения в конечном счете определяется начальными условиями или, по-другому, значением интеграла энергии (5.7.9) и значением или т) в некоторый момент т. Хорошо известно из теории простого маятника, что значение энергии определяет тип движения. Одинаковое описание всех типов движения, как приближение к некоторому истинному движению, определяемому возмущениями (5.7.10) гамильтониана F, имеет сомнительное значение. Эти возмугцения можно надлежапщм образом подобрать в областях колебаний и вращений, т. е. достаточно далеко от сепаратрисы. Возмущения асимптотического движения или седловых точек представляют собой нечто иное и должны рассматриваться особым образом. Непохоже, чтобы этот тип движения сохранялся, в то время как колебания или вращения по всей видимости сохраняются при достаточно малых возмущениях.

Теорема Арнольда дает нам объяснение этому эффекту. Невозмущенная орбита в этом случае описывается эллиптическими функциями или интегралами, и можно будет использовать метод теорин возмущений, но, поскольку используется «лучшее» невозмущенное движение, чем просто положение равновесия (которое обязательно должно быть центром), то можно ожидать, что метод последовательных приближений имеет большие шансы на сходимость. В описываемой здесь формулировке уравнения Ли - Хори в точности совпадают с этими уравнениями для нерезонансных систем. Понижение порядка при дифференцировании по в точности компенсируется умножением на т], которое после подстановки решения дополнительной системы приводит к появлению малого сомножителя 0(8). в самом деле, можно трактовать выражение (5.7.10) как обычный ряд с F = Fq и с остаточными членами увеличивающегося порядка, приняв в конечном счете за порядок дробь р/2, где р - целое число. Характер разложения очень похож на разложения из работы Жуппа [48, 49], и здесь его не стоит повторять. До членов второго порядка это разложение можно найти в работе [49].

Приведение общего случая, упомянутое в начале параграфа, к идеальному виду (5.7.9) может быть осуществлено следующим

образом (см. [36]). Пусть

Н = Ад{х) + У, Aj {х) cos jy ==Н (г. у), (5.7.12)

где величины А}{х) (/=1, 2, ...) нреднолагаются ограниченными малыми порядка е. Как обычно, мы запишем

А,{х)=0{г) (7 = 1,2,...)

при X из некоторого интервала D R. Мы также ноложтш в этом интервале А (х) = О (1), Ад (х) = 0(е), а неременная у определена на отрезке [О, 2л]. Идеальная резонансная проблема on-ределяется гамильтонианом

Я, = Л (ж)+5 (ж) cos г/, (5.7.13)

и при некоторых условиях существует каноническое преобразование, определяемое формальными рядами, которое приводит гамильтониан (5.7.12) к виду (5.7.13), т. е. такое каноническое преобразование {х, г/)-(, т]), что

Н{х{1, т1), у{1, ri)) -Z(, ri) =Р(5) +(?(s)cosri. (5.7.14)

Вначале допустим, что выполнены условия:

а) Для любого xD и 0г/<2я суп];ествуют только два

решения г/ = о и г/ = я уравнения х - - Ну = 0.

б) Aq (ж) > о, л 1 (ж) > о при xD.

в) Максимальное значение М функции Н достигается для xD нрп г/ = 0.

г) М {х) = 2 Aj (х) > 0.

д) Минимальное значение т функцип Н достигается для xD при г/ = л.

е) т{х) = ( l)i.(3:) =0.

ж) Производящая функция преобразования {х, у) (, ti) имеет классический асимптотический вид

Sib y)=b + Si/2{l, y) + Si(l, у)+...

з) Коэффициенты Р() и Q{1) имеют аналогичный асимптотический вид

<?(5)=<?«Ш + <?1/2(?) + <?1(1)+ •••