Приравнивая члены одинакового порядка в тейлоровском раз-ложенпп уравнения

1/2 ,

....у =К\1,у-

МЫ найдем 0{\):

OW): Pi/2(5) = i/2(e) = 0,

"1/2 , 1

+ Aj (I) COS jy = Р, il) + Q, il) cos y,

Ao (ё) + Al il)

\ dy I \ COS )y =

= Pzl2 (5) Hr <?3/2 il) COS ;/ - (?i (?) sin;/ и T. Д. в обгцем случае рассматриваемые уравнения имеют вид

Ло{?)+Ло(?)-]-+ 2-o(?)-j -

= РпМ12 Ц) + п+1/2 (5) COS у + i?„+,/2 (?, г/), (5.7.15) 3

где п = 1, у, 2, ... и где функции i?„+i/2 (?, г/) зависят от уже

известных предыдущих приближений. Привлекая члены более высокого порядка, мы можем записать уравнение (5.7.15) в виде

5(п-1/2)

ясСп-1/2)1 dS \ . I dS V

Ао (?) + Ло (?) J + 1 Ло (?) (-) =

=А+1/2 (5) + п+1/2 (1) cosy + Rn+1/2 а, у), (5.7.16)

5 = 5./2 + -1 + 5з/2 + ...+Sp.

Суммируя уравнения (5.7.16) отп = 1доп = ри прибавляя еще уравнение для членов порядка 0(e), при р = 112, 1, 3/2, ...

находпм, что

(s) -яг- + - 0 (ё)

\ ду I

+ RP+"\l, у), (5.7.17)

Рассмотрим случай p = 1/2. Решая уравненпе относительно {Sif2)y, находим

{Si/2)y ----7- ±

а \2

/1-(Л-i) COS г/ - 2 7

cos jy

и выберем

так что

РЛ1) =Qiil) ==i(l)-

{1/2) у---7 ±

+ 2-cos2--2 ЛcosV *о L j=i

(

Если г/ = о, то величина, имеющая степень 1/2, приобретает

+ 4г[2Л1-Л/ (£)1.

Если эта величина положительна, то функция {Si/2)y всегда вещественна, и переменная у описывает вращения. Если она отрицательна, то величина у не может достичь значения г/ = О, и эта величина описывает колебания около значения у = л. Если г/ == л, то эта величина принимает вид {AqIAqY, и знак в рассматриваемом выражении надо выбрать так, чтобы ($1/2)1 = О в этой же точке. Этим условиям легко удовлетворить, если {Si/2)y представляет собой ряд из синусов целых кратностей величины у, но в общем случае этого не будет.

т. е. уравнение

Ао И + 2 Л • {х) cos jy = 0.

При у - п имеем уравнение

+ i {-\УА]{х)=0,

и, так как входящие в него величины имеют разные порядки, то приближенно (с точностью выше е") решение будет определяться условием:

а) xxi/2, где Ao{xi/2) = 0; точка (ж, г/=л;) является центром колебаний, а точка (a;i/2, У = л) дает первое приближение для его координат.

При у = 0 имеем уравнение

и опять:

б) ж* =з:Г/2, где Ло(а;1/2)= 0; точка (х*, у = 0) является седловой точкой, а точка (1/2, у = 0) дает первое приближение для ее координат.

При у = п, X = X первое приближение функции 5 =?г/ -- 5i/2 соответствует тождественному преобразованию, так как {Si/2)y=0, а {Si/2h = О по построению.

В следующем прнближении для получения {Si)y=0 мы опять выберем Рз/2 = q3/2, и теперь функция Qs/z определяется по коэффициентам известных членов при cos у, т. е.

оо \

+ + " Щ

в общем случае выбор этих функций будет таким:

P\l) = Q\l)=-±jR\l,y)dy,

Рассмотрим теперь уравнение

У = Я. = О,