=--г ±

Оу А",

0 / л

а при у -.п получаем (5")„ == 0.

Колебательный, вратцательный или асимптотический характер движения на каждом шаге будет определяться в соответствии с тем, будет ли выражение

" X. Д,[2р(-/2) д(р+1/2)

больше, меньше или равно нулю соответственно, хотя наличие асимптотического случая, если он и имеет место, можно установить только в пределе при р~*-сх>. Теперь определим формальный ряд для функции 5(1, у), которая соответствует преобразованию, приводящему гамильтониан к виду

К (I, 11) = (Ро + Рг + Pi/2 +...) + (<?! + <?з/2 + ...) cosTi =

= o(?)+:2P(?)cos2., (5.7.18)

где А, (I) = О (1), Ао (I) = О {г"), РЦ) = О (е).

При Т1 = я функция Z(, Tl) имеет минимум, если, разумеется, считать АоЦ) О, Р()>-0. Такой вид гамильтониана в точности определяет идеальную резонансную проблему.

Здесь мы описали самую простую ситуацию, которая только может встретиться. Очевидно возможна более сложная топология фазовой плоскости (ж, у), если имеется некоторое количество п центров и более чем 2га - 1 седловых точек. По-видимому, в более общем случае какое-то обсуждение становится невозможным.

Следующим по простоте после рассмотренного случая является случай, когда имеется более общая идеальная резонансная проблема и имеется два центра и три седловых точки на отрезке О < г/ < 2я. Здесь главная часть гамильтониана имеет вид

Р = Ао{х) +Ai{x)cosy + Bi{x)cos2y, (5.7.19)

где при xD имеем Ao{x)=0{s,), а Ai{x) = 0(8), 1(3:) = = О (е). Этот случай детально рассмотрен в работе Джакальи [36].

и по пндукции легко установить, что (, л) = О и

8. Несколько степеней свободы

До сих пор мы рассматривали задачи с одной степенью свободы. В действительности в общем случае система с т рационально независимыми друг от друга резонансными соотношениями между частотами может быть сведена к системе с т степенями свободы. Если m > 1, то полное рассмотрение этой задачи маловероятно. Общепризнано, что очень мало известно о системах с двумя степенями свободы и, как упоминалось выше, интерпретация критических точек является крайне громоздкой. Однако в самом общем виде проблему можно сформулировать следующим образом.

Опять рассмотрим систему уравнений с гампльтонианом

Н(аг, у) = Н,(х) + Н,{х,у) +(5.8.1)

где при А; > 1

Hk=IiAl {X) ехр {ify), (5.8.2)

а число членов в каждой функции Нн предполагается конечным. Как обычно, предположим, что функция Н аналитична приже/), где D - некоторое п-мерное дифференцируемое многообразие. Ряд (5.8.1) предполагается равномерно сходящимся как степенной ряд по «малому параметру» е, который всегда служит для .упрощения выкладок, хотя в некоторых примерах можно показать справедливость (сходимость) формальных рядов, строящихся при О < е < ео, где ео достаточно мало. Мы будем считать систему с гамильтонианом (5.8.1) неприводимой в том смысле, что все угловые переменные описывают медленное движение. Все быстрые переменные системы предполагаются исключенными тем или иным способом (см. главу II). Предположение о нелинейности резонанса теперь соответствует рассмотрению особых точек системы уравнений

х = -Н1 у= Hi,

т. е. решений а; = ж", у =у* уравнений Нх = 0, Я,= 0. Решения такого типа являются «центрами» «характеристический многочлен системы уравнений в первых вариациях имеет только чисто мнимые корни) или «седлами» (характеристический многочлен имеет по крайней мере одну пару корней с ненулевой вещественной частью; один из корней этой пары имеет отрицательную вещественную часть, а другой должен иметь положительную). Как хорошо известно, «центры» не обязательно являются устойчивыми точками. «Седла», разумеется, неустойчивы. Однако

- X Хгх,

Hi{x„ j/) = 2no) ехр (ipy).

х=х.

Можно показать, что существует формальное каноническое преобразование, которое приводит гамильтониан общей задачи к виду, аналогичному виду гамильтониана главной задачи (5,8.3). Эта процедура очень похожа на процедуру приведения, уже описанную для одномерного случая. Мы опять будем считать II б II = 0(81/2), II а II = 0(81/2), Я1=0(8).

Под теоремой, обратной к теореме Лагранжа - Дирихле, обычно подразумевают такое утверждение: для устойчивости положения равновесия консервативной системы необходимо, чтобы ее потенциальная энергия имела в этом положении равновесия строгий изолированный минимум по всем координатам. Это утверждение до сих пор не доказано даже для аналитических систем, хотя последние результаты Четаева [32*] и недавние результаты Коитера [33*] дают довольно хорошее приближение к решению этой проблемы. В упомянутой работе Хагедорна [39] доказана лишь неустойчивость точкп максимума потенциальной энергии консервативной системы, а также рассмотрено аналогичное «обращение» теоремы Раусса для непотенциальных систем. Относительно устойчивости точки минимума потенциальной энергии в [39] лишь приведен пример неаналитической системы (неустойчивой), указаны ошибки некоторых авторов (например, п [53]) при доказательстве этого утверждения, а также высказана та же гипотеза, что и в данной книге {прим. перев.).

для консервативных систем недавно было доказано, что теорема, обратная теореме Лагранжа - Дирихле, справедлива при достаточно общих условиях (см. [39]), т. е. если гамильтониан Н не зависит от времени, то его аналитичности более чем достаточно для обеспечения устойчивости точки минимума потенциала и неустойчивости точки максимума ).

Приближение к нелинейным условиям резонанса, очевидно, дается уравнениями

аг = аг" = const, у = Hld +

где для данного {х > О мы предположим, что существует такое е > О, что IIdHjdXk =о = О (е/з) при ж - аг"! < [i. Определитель, составленный из вторых производных, предполагается невырожденным и отделимым снизу от нуля величиной 0(1), т. е. не уничтожающимся вместе с е и не зависящим от е.

Разложив функцию Гамильтона в п-мерный ряд Тейлора вблизи некоторой точки х, мы получим главную часть функции Н в виде

F (б, у) = аЧ + 6Мб + {х„ у), (5.8.3)