со следующилга очевидными свойствами:

a) As(a/+pg) =aAs/+pAg,

b) s{f g) =f s8-gsf,

c) s{f,g) = {sf,g) + {f,sg),

d) AsAg-/ = Ag,As/ + L(S,s)/ + i .

Действительно, из (1.4.20) получаем соотношение

/n(z(S,e)) 2 >s/„(S),

после подстановки которого в (1.4.23) и после собирания членов одинакового порядка по е приходим к желаемому результату.

Наконец, докажем следующую теорему о преобразовании, обратном к каноническому преобразованию, определяемому рядами Ли.

Теорема. Преобразование, обратное к преобразованию

Z = ехр (eLg) g,

имеет вид

? = exp(eL s)z. (1.4.25)

Действительно, 1 = ехр (eLs-) z = ехр (eLg-) (ехр (eLg) g) = ехр (е (Lg- + Lg))

Оператор ехр (е (Lg + Lg)) должен соответствовать тождественному преобразованию, для которого Lg, -)- = 0. Следовательно, S -S, что и требовалось доказать.

5. Преобразование Ли, зависящее от параметра

Как уже раньше говорилось, канонические преобразования, связанные с методами теории возмущенш!, обязательно зависят от параметра, вообще говоря, малого; при этом решение бывает известно, когда этот параметр равен нулю (или любому другому фиксированному числовому значению). В терминах описанной в предыдущем параграфе теории преобразований Ли это означает, что генератор преобразования может явно зависеть от параметра е. Такую зависимость можно учесть введенпелг оператора [17]

s = L,+ - (1.5.1)

d6 "- \dZ j

5 = 5 (Z, 8), 5, = dSldE.

Также разумно определить ге-ю итерацию оператора As/ с помощью формул

AS/=As(Ar/), А/ = /.

Легко получить соотношения, соответствующие свойствам (1.5.2). Введем такие определения:

/„(S.0)= [AS(g,.)/(?,e)].=o (1-5.3)

И новый оператор

s/=2 -5-/п(?>0). (1-5.4)

Очевидно, что если существует конечная величина А, такая, что

/„(g, 0)

для t, из некоторой окрестности точки о, то ряд (1.5.4) сходится. Следующие соотношения легко проворить:

a) £s(a/+Pg) =c££s/+PSs/?,

b) EsU-g) =Esf-Esg. (i.5.5)

c) Es{f,g) = {Esb Esg).

Так же, как ранее это было сделано для оператора Ls, можно теперь показать, что преобразование 8->z, определяемое формулами

2-s(S) = 2;rn(S0), (1.5.6)

п=о

является каноническим и описывается сходящимися рядами. Для определения генератора приведенного выше преобразования докажем следующую теорему.

Теорема. Преобразование Eg (g) является решением гамильтоновой системы уравнений

t=Mfgy, (,.5.7)

соответствующим начальным условиям z - t, при е = 0. При этом функция 5(2, е) связана с Es{t,) формулами (1.5.4) и (1.5.3).

Действительно, рассматривая (1.5.1), имеем

A3z(?,e) = L3z(?,e)+f=(g)

гдег = coUy,x). Из (1.5.7), где S = S{t„ г), находим

/ад \т dx ду) ~ rfe

(d SY dy [dxj rfe

так что

AsZ(S, е) = + + -.

(1.5.8)

Предполагая преобразование z(5, е) вещественным и аналитическим, получаем

а при е = О это дает такие соотношения:

Asz(g,e)

е=0 rfe"

так что, используя (1.5.6), находим

п (S, 0),

(1.5.9)

(1.5.10)

= z(g,e).

и завершает доказательство теоремы. Преобразование вещественной аналитической функции / (z, е) при каноническом преобразовании z = z (g, е) = Eg (g), определяемом формулами (1.5.6), записывается с помощью такого простого соотношения:

fiEeil), 6) = Es/(S, е).

(1.5.11)

Действительно, вдоль решения z = z (S, е) системы (1.5.7), проходящего через точку z = t, при е = О, как следует из (1.5.10), имеем

п=0 / 6=0 п=0