Далее, очевидно, что матрица А симметрична п, следовательно, соответствующим преобразованием ее можно привести к дпаго-нальному виду. Но такое преобразование привело бы к появлению нецелых коэффициентов в функции Hi, выраженной в новых угловых переменных и, следовательно, оно не очень удобно. Как и Е большинстве случаев ранее, предположим, что главный член в Hi соответствует единственной комбинации угловых переменных j/s [к = i, ..., п), к пусть эта комбинация записана так:

Z = Р1У1+ ...+РпУп.

Уравнения движения, соответствующие гамильтониану (5.8.3), имеют вид

- -PPУ) + КО* Pft ехр (-ipy), (5.8.4)

h j=l

(5.8.5)

где » означает комплексное сопряжение. Отсюда следует, что

ехр (iz) +

П П

2i (ЛГ)* 2 2 AujP}Pn ехр (- iz)

- 2iA\ 2 2 KiViVk

(5.8.6)

где z - вещественная переменная, a ш - комплексная величина, определяемая формулой

со = - 2Uf 2 2 Лр.Р.

i=l Ь.=1

Действительно, мы можем записать уравнение (5.8.6) в вещественной форме

Z = coi COSZ - (02sinz, (5.8.7)

Ш1 = 2Кеш, Ю2 = 21т(о.

Решением уравнения (5.8.7) является эллиптический интеграл первого рода, легко приводимый к нормальной форлш заменой

= Z + а, sina =

COS а =

h, = ip,[-AW + {Af)

После этого из уравнений (5.8.5) получаем каждый угол опять в виде простой квадратуры.

Ясно, что рассмотренный выше случай в действительности эквивалентен одномерному случаю.

Задачу также можно решить аналогичным способом, если главная часть функции Hi зависит от угла z = piyi -f ... -f р„г/„ и конечного числа целых кратностей величины z, хотя в этом случае уравнение для z может привести к вычислению гинерэллинтиче-

ских интегралов, так как = /П; sin ь+ • • • +"гр sin pt,.

Когда имеется несколько линейно независимых комбинаций zi, ..., Zp, то решить задачу известными методами удается только, если возможно определить непересекающиеся области, в каждой из которых каждая переменная z соответствует главному члену. Полное решение в этом случае может быть получено объединением решений, локально справедливых в каждой из упомянутых областей. Одним из наиболее эффективных методов является процедура разложения по многим переменным, справедливая асимптотически в упомянутых областях. Такой метод для случая р = 2 был развит в работе [50], а позже в работе [18]. Здесь мы не будем останавливаться на таких процедурах.

Когда имеется р угловых комбинаций, система, которую надо решить, имеет вид

Z& = 2 {Aj cos Z} + Bj sin Zj)

lk = rnjlj (A: = l, p). (5.8.9)

В случае малых колебаний в окрестности точки t,j = О эта система является линейной, и решение находится сразу же. В против-

так что при т= j/coi -f ш! имеем уравнение

£ = msin£, (5.8.8)

которое опять является уравнением простого маятника. Следовательно, поведение неременной t, уже рассматривалось и «главный аргумент» z может описывать колебания, вратцения или асимптотическое движение.

Теперь легко полностью проинтегрировать уравнения (5.8.4) и (5.8.5), если сначала получить из (5.8.4) с помощью простых квадратур, так как теперь

ном случае система уравнений (5.8.9) далеко не тривиальна. Аналогично можно сказать, что если все углы г/» описывают колебания около некоторого положения равновесия, то при малых колебаниях решение может быть проаппроксимировано любым желаемым образом. Но если хотя бы один угол ун описывает вращения, то решение получить пе так просто. Эти же утверждения можно сделать и относительно переменных Z-

В качестве примера рассмотрим случай р = 2, так что можно написать (функция F предполагается четной относительно г/i, г/г)

+ 4f cos(az/i -f Рг/г) + 4?«cos(pz/i -f qy.}. (5.8.10)

В этом случае мы находим

Zi = -к\\ sin zi - к\2 sin z2,

z2 :

-k2\ sin Zi - k22 sin z2,

кц = кцА , ki2 - kiA\,

"21 - "-121 "22 "22-l

(5.8.11)

ku = 2(a2au + 2aax2 + Рагг), jcia = 2(apaii + qai2 + ЩЧи + №2). лгг = 2{рЧп + 25012 -f- 5022).

Преобразование

sin = fcj sn («1, fei), sin -

k sn («2 г)

приводит уравнения к виду d

dt d

(«f - ah

cn Ml

cn ц2

a,=~2h,

«1 cn «1 sn Щ dn «2 СП щ sn Ml dn к,

a, = - 2fe,

21 x

(5.8.12)

Система распадается, если ai = аг = О, т. е. для этого необходимо и достаточно, чтобы

арац-Ь + a,q)ai2 + qa22 = 0.

(5.8.13)