где Ui ~У kt -j- UiQ, а прп А-21 = О аналогично имеем

sin ~- = к sn («2, fcj) = 2 (2) sin

(91 Л- 1) ""з

где м., = 1 г22-1-М2, и в этих выражениях модули к\ и к2 зависят от начальных условий, то легко получить члены нулевого порядка в разложениях coi и шг, записав их через к\\, 22, к\, kz, а члены более высокого порядка находятся по рекуррентным формулам. Такая процедура типична для случаев, когда система «слабо завязана», т. е. 112!, 2i "С ii, 1221- Совершенно ясно надо

и в этом случае решение уравнений (5.8.12) получается немедленно. Одним из возможных случаев является случай

an = «12 = «22 = О, (5.8.14)

но тогда мы имеем дело не со случаем резонанса. Другим интегрируемым случаем, разумеется, является случай, когда

A;iiA;22- 1221 = О, (5.8.15)

и в этом случае величины Zi п Z2 таковы, что одна из них является целой кратностью другой, и мы опять возвращаемся к одномерному случаю.

Другое частное решение можно получить, если ki - kz, т. е. функции Zi и Z2 являются периодическими функциями времени t и имеют одинаковый период. Действительно, легко проверить, что если к\1-\-к\2 = к22-\-к21, то мы имеем частное решение

Ui = U2, так что Zi и Z2 являются просто сдвинутыми по фазе друг относительно друга периодическими функциями с одинаковым периодом.

Однако в общем случае Zi и Z2 (их вещественные части) будут условно-периодическими функциями времени t, и в конечном счете можно получить их иепериодическпе эксионенциалыгые ряды Фурье, если в исходной системе (5.8.11) положить

sin -у- 2 2 ехр [i {kfHyt -Ь Zfflji)], k I

где, разумеется, coi и Ш2 - пеизвестпые частоты. Ясно, что так как при ki2 - О имеем

smk,sn{u„k,)=JbUki)sm\i2k+ I)

(aoi -f К) {Si/2)z, + [pay, + qa} {Sifz) 1 2

+ Af COS zi + A" COS г., = К,. (3.8.17)

Это уравпепие при ki2 = О опять имеет простое решение в эллиптических функциях Якоби, в то время как в общем случае оно не проще исходного.

Вероятно, будет полезно отметить, что иногда возможно выбрать такую исходную точку, что

арап + {р + aq)ai2 + ?>qa22 = О, (5.8.18)

где величины яц, «12, 22 не обязательно равны нулю. Де11стви-

осознавать, что сложность проблемы, оппсанная выше, связана только с главной задачей, решенпе которой служит основой для получения решений высших порядков или, в случае подхода, основанного на рядах Ли, для определения решения дополнительной системы. В обоих случаях главная задача настолько стожна, что есть только небольшая надежда на получение каких-нибудь дальнейших приближений.

Если за точку, около которой производится разложение, принять центр, то при р = 2 метод Цейпеля, примененный к они-санной выше задаче, приводит к уравнению

+ 2ai2 {Siiz)y, [Si/zh, + «22 [(51/2)уЛ + + cos [ay, + Ш + cos [py, + qy.} = (б!, 62),

(5.8.16)

где S\i2 - приближение первого порядка (т. е. члеп порядка 0{г)) в производягцей функции канонического преобразования (61,6.3, i/t, г/2)-(бь 62, у\, г/г). Разумеется, при этом мы ничего не приобретаем, потому что малопонятно, как решать уравнение в частных производных (5.8.16). Кроме того, утерян принцип получения функции ЛДб], 62), т. е. членов порядка О {г) в новой функции Гамильтона. Решение будет тривиальным для общего (нерезонансного) случая Яц = «12 = «22 = О или, точнее говоря, когда

S = тождественная часть -f- AS,

где за AS можно взять функцию порядка О (г). Используя ранее введенные величины Zi и гг, уравнение (5.8.16) перепишем в виде

х,=Хг,

те может случиться, что специальным выбором величин хю, Х20 удастся «развязать» систему. Для того чтобы это было можно сделать, функция Яо должна принадлежать к классу функций /, удовлетворяющих уравнению (р = 2)

+ 2 5, +-1 = 0 (5-8.19)

где к, I, т - заданные целые числа. Рассмотрим следующие важные частные случаи.

I) а == , так что <xq -{- р - q -{- ар и, следовательно, в (5.8.19) 21 - т-{-к; в этом случае уравнение (5.8.19) переходит в уравнение

д . д \ (, df , df

\дх ~ ду )\ дх ~ ду j

которое легко решить;

II) р = q; аналогично предыдущему случаю;

III) известно, что когда km больше, равно или меньше Р, то уравнение будет соответственно эллиптического, параболического или гиперболического типа; в каждом случае свойства решений для / хорошо известны и могут быть найдены в любой книге о дифференциальных уравнениях в частных производных.

На самом деле проблема менее сложна, так как функция /, т. е, Ho(8i, 82), задана, и вопрос о том, будет ли удовлетворяться уравнение (5.8.18), сводится к решению уравнения (в общем случае не алгебраического) относительно двух неизвестных. Все возможные решения этого уравнения дадут области, в которых резонансные эффекты могут быть отделены друг от друга.

9. Взаимодействие двух гармонических осцилляторов

Мы завершим эту главу кратким обсуждением задачи о нелинейной связи осцилляторов. Это описание основано на результатах, полученных в работе Хори [46], и служит заключительным примером использования методов теории возмущений, основанных на рядах Ли для консервативных систем. Рассматриваемая система описывается уравнениями

тельно, целые чпсла а, р, q заданы, но так как