|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [92] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 где мы пренебрегли членами порядка 0(8), генератор Ли - Хори •di б) представим в виде степенного ряда по г S = Si+S2 + ... с точностью до членов того же порядка отображение функции /(I, ц) с помощью генератора S задается формулой / (ж, у) = f (I, ti) + (/, S,) + (/, S,) + i- ((/, S,), S,). (5.9.7) Это соотношение, как указывалось в главе II, может быть использовано для получения формулы Ф(, Т1) =F{x, у), (5.9.8) где Ф - новый (преобразованный) гамильтониан. Заметим, что в этом примере обозначения ж и приняты для координат, а обозначения у и tj - для импульсов. Так как то решение дополнительной системы имеет вид (/ = 1, 2) Еу = Су cos (соут -I- С;), т]у = - суЮу sin(a)yT -- с]). (5.9.9) где а>1, (02, е - положительные вещественные постоянные. Существование третьего интеграла для этой системы уравнений исследовалось в нескольких работах Контопулоса и др. [19-22]. В гамильтоновой форме уравнения (5.9.1) можно переписать так: 4 = Пй. Уи--Р.к ( = 1. 2), (5.9.2) F =.F,{x,y) + F,{x), (5.9.3) f о = 4- + У + + 2), (5.9.4) = - EXyxl (5.9.5) Расматриваемая теория строится до членов второго порядка включительно. Для канонического преобразования (ж, у)->- (, "П), определяемого по формулам Нерезонаненый случай. Пусть coi и шг- линейно независимы на множестве целых чисел. Тогда решение соответствующих уравнений имеет вид =Ит f F,(l (т), ti(T))dT= Fb, 1= f[i(IW, г\{т))-ф,](1х, Фз = I (1 +Фъ + I (Fa + Ф2, S,), + (5.9.10) (5.9.11) (5.9.12) (5.9.13) + 4«i-*b5i), (5.9.14) и дает генератор S до членов второго порядка включительно, а новый гамильтониан до членов третьего порядка. В нашем случае находим 17-1 (Oj (cof - 4(й) Ф,= 0, ©2 (40)2 0)2) (Of + 2(05 , 2(0)2-0,2) С02(ш2 0.2) "il H---Л2 80)2 (5.9.15) Ф, = 20)2 ( 0)2 -4(0) 3 ,2\U2 , 2 «2 - §2 f r + -;2 Фз=0. [ (Of ((of-4(u) (со;)=col (i + -тЛ-гтг\<1+Ы - Ut] (of(o((o2-4(o) Связь между переменными (ж, у) и (, tj) легко устанавливается с помощью формул (5.9.6). Формула, соответствующая формуле (5.9.7), при обратном преобразовании имеет вид / (I, т,) = / (ж, у) - (/, S,) - (/, S,) + 1 ((/, S,), Si)+... (5.9.20) где невыписанные члены имеют порядок 0(8). Применение формулы (5.9.20) к функции f 5-2 1 1 2 2 . / = SI -1--Г Л1 = Cl = const дает с той же точностью третий интеграл, полученный в работе Контопулоса [22]: •1 + -V г/1 + • • • = с? = const. Использование в тех же целях функции не дает нового интеграла, не зависящего от с\ и интеграла энергии (Ф или F). В соответствии с общими результатами, установленными в главе II, следующие величины являются интегралами движения для дифференциальных уравнений, соответствующих гамильтониану Ф (1 п) == const, Фо(, Ti)= const. (5.9.16) Легко проверить, что из (5.9.16) следует (/ = 1, 2) Il + -\nj=c= const. (5.9.17) Следовательно, решение уравненпй, соответствующих гамильтониану Ф, имеет вид ?j = CyCos(fflj + С;), Tjj = - СуШу sin (fflj + Cj), (5.9.18) где «исправленные» частоты со,- с точностью до членов порядка 0(8) определяются формулами (5.9.19) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [92] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0135 |
|