Резонансный случай. Из (5.9.15) и (5.9.19) ясно, что в рассматриваемых нами приближениях надо исключить случаи

2 /2 0)1 = 4ffl2,

Ml = а>2.

В действительности по мере получения приближенпй высших порядков будут появляться делители вида nwi - тшг, где целые числа п, т увеличиваются вместе с порядком строящейся теории. Как указывалось в предыдущих параграфах, даже не надо, чтобы эти делители обращались в нуль, а для неприменимости теории достаточно, чтобы они были достаточно малыми. Например, первое из соотношений (5.9.15) показывает, что если coi - 4а) = О (е), то функция Si больше не будет величиной первого порядка малости, как это предполагается с самого начала. В таких случаях аргумент (критический), соответствующий малому делителю, надо оставить в функции Ф, если она выражается через решение дополнительной системы (5.9.9).

Если ffli 4ffl2» то такой подход приводит к выражениям

Si =

4(ош2 (0)1 + 2(02)

Will (fflli - Til) + 2(02ri.2Ti2],

(5.9.21)

Ф,=-

32wfo)(Wi+ 20)2)

1 / V

+ (02 (Sffli + 8щ)

.2 \ 2

11 +

Этих соотношений достаточно для последующего построения третьего интеграла и подтверждения результатов, полученных в работе Контопулоса [21].

Теперь, как и предлагается в методе Линдстедта, можно ввести такое каноническое преобразование, после применения которого одна из координат пе будет входить в гамильтониан, а именно, та координата, которая соответствует некритическому аргументу. Следовательно, прп использовапип дополнительной системы новые координаты надо определить по формулам

= 2(ш2Т + С2)-(coiT + ci), (5 9 22)

g-a = - (ojjT + С2).

/ „2 \

+ {4 + Ц +

+ (0(02 К+ 2(02) + 12 4- х,у1 -уху] +... =p2=const.

Хори в упомянутой выше работе получил полностью эквивалентный результат, иоложивсо! = 4ш2 (точное равенство)).

Другой резонансный случай, рассмотренный Контопулосом [22], а также описанный здесь,- это случай солгсо!), В этом случае критический аргумент, приводящий к появлению малого (или нулевого) делителя в общей теории, имеет вид (сот -f с\) - -(cOgT + cj). Сохраняя этот аргумент (и кратные ему аргументы) в функции Фг (функция Ф1 остается такой же, как и в

) См. также [34*, 35*], где рассмотрены и другие резонансные случаи (прим. перев.).

Здесь и в [22] рассмотрен только один из двух возможных случаев, так называемый случай простых элементарных делителей определяющей матрицы невозмущенной (линейной) системы. Некоторые замечания о наличии третьего интеграла в этом и более сложном случае непростых элементарных делителей можно найти в работе [36*] (прим. ред.).

Второе из этих соотношений выбрано таким образом, что не будет входить в гамильтониан, а соответствующий имиульс будет совпадать с найденным Контопулосом третьим интегралом для резонансного случая. Вообще говоря, за qz можно принять любую лппейную комбинацию величин сот ~ Сх ж сй.,т (не кратную

только критическому аргументу 51). Импульсы, соответствующие координатам q\, дг, определенным по формулам (5.9.22), записываются так:

Л = Си Рг = Щс\ + с1 (5.9.23)

а сами переменные gi, q2, pi, Р2 легко выражаются через %, ц с помощью формул (5.9.9).

Легко видеть, что гамильтониан, записанный в переменных д, р, не содержит дг, так что р2 - константа, т. е.

+ =Р2 = const. (5.9.24)

Преобразование этого выражения с помощью формулы (5.9.20) дает третий интеграл Контопулоса в этом резонансном случае:

не резонансном случае), получаем

+ «1

2(оЦ(о2 42)

? N2

2 + - )+cOi К+2С0,)

/б2 S2 -

(0,(0,

Как и в предыдугцем случае, после введения соответствующего набора новых переменных

qi = («2 + С2) - (coiT + cl), gg = - (сот + c2),

1 2

1 2 1 2

новый гамильтониан не будет содержать координаты 52, так что импульс р2 будет постоянным. Следовательно,

- + + nl] = Ра = const,

или, используя (5.9.20),

СО? j 8

tt>2 Т

/2,1 2\

2 + - г/2

0)iu)2 / 0)j -

(0.3 (cof - 2cOiffl2- 2со) Xixl +

+ 2(coi - (О,,) - г/гаг/а)] + О (s) = p., = const. Опять можно показать, что эта формула точно совпадает с результатами, полученными Контопулосом в случае cof «cof.

В обоих рассмотренных здесь резонансных случаях легко видеть, что новый гамильтониан, записанный в переменных q, р, имеет ту же главную часть, что и в идеальной резонансной про-блеме. А именно, для резонанса сО] л; 4со2 имеем

Н = {щ - 2со.) pi + cojp., - (Рг - 2pi) VPi cos gi,

a для резонанса cof ?»co - Я = (coi - (o2) pi + (OPa +

(8o) - 3co?) pi +