Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

+ 4co.2 (coi + 20)2) (Pi - Pi) Pi cos 2qi]. В обоих случаях видно, что ири точном резонансе

дНо/dpi = 0.

Однако во втором случае можно допустить, что эта производная является малой величиной порядка (е), и тогда по-прежнему можно получить решение в виде формальных рядов но степеням 8. В первом случае величина наименьшего порядка может быть малой величиной порядка 0{е), и в этом случае решение надо строить но степеням е, о чем и говорилось в предыдущем параграфе.

Системы дифференциальных уравнений типа системы (5.9.1) очень широко изучаются в литературе, и сравнение классических методов решения с формальным подходом, основанным на рядах Ли, может оказаться весьма плодотворным. Сходимость рядов этого последнего подхода является, вероятно, наиболее интересной частью проблемы.

10. Замечания

С физической точки зрения понятия лпнейного или нелинейного резонанса могут отражать только некоторые аспекты тех пли иных постановок задач. Для любых физических целей линейный резонанс не существует. Нелинейный резонанс является главным принципом настройки, т. е. выделения сигнала из общего шумового фона, а в естественных системах - причина устойчивых колебательных конфигураций; общим для обеих ситуаций является явление «захвата в резонанс». В более сложных системах резонанс выявляется только с помощью численных исследо-ваннн. Хорошие примеры в этом отношении дают работы Хенона и Хейлеса [43] и Густавсона [38]. В некоторых случаях метод поверхностей сечения (или результаты Пуанкаре) является очень эффективным, как например, в задаче, рассмотренной Дэнби [26]. Что касается гамильтоновых систем, то мы немедленно сталкиваемся с вопросом о том, будут ли такие системы осцилляторами. Ясное описание, даваемое с помощью переменных действие - угол, применимо только тогда, когда можно разделить уравнение Гамильтона - Якоби, и поэтому оно имеет слишком ограниченную область применения. Таким образом, мы вынуждены прийти к обычному описанию колебаний в окрестности но-ложения равновесия, которое надо считать устойчивым. Нелинейность заключается в том, что если такие колебания периодичны по каждой переменной, которая описывает отклонение от положения равновесия, то их период зависит от этого отклонения.

l9 г. Е о. Джаьалья



Математическое определение нелинейного резонанса, основанное на методе, который применяется для получения асимптотических рехпений, разумеется, не является удовлетворительным, хотя и часто используется (см., например, [52], стр. 18). Такое определение, если оно основано на появлении нулевых делителей в приближенных методах (как описывается в этой главе), есть не что иное, как эквивалентное утверждение о неполном вырождении. Перед тем как переходить к более уточненным и подробным определениям, надо отдавать себе отчет, что рассматриваемый вопрос но существу заключается в изучении поведения нелинейной динамической системы иод влиянием внешних (или внутренних) возмущений. Асимптотически устойчивые решения можно в конечном счете получить с помощью асимптотических или чисто качественных методов, на что и указывалось в работах Боголюбова и Митропольского [12], Немыцкого и Степанова [64], Чезари [16] и Митропольского [58]. Поиск таких решений очень часто сводится к определению расположения и типов особых точек в фазовом пространстве. Тип этих точек зависит от поведения интегральных кривых в их окрестности, и, следовательно, располагая такой информацией, мы можем установить топологическую картину поведения траекторий в этих окрестностях фазового пространства. Однако в большинстве случаев поведение интегральных кривых в фазовом пространстве остается неизвестным, и часто численные методы являются единственными методами, имеющимися в нашем распоряжении. Кроме того, иногда пытаются понять нелинейные эффекты, упростив систему.

Характерный пример типично нелинейных трудностей и резонансных эффектов дает рассмотрение уравнения

x + ax + ax = f{x), (5.10.1)

где (й и а зависят от ж и ж. Амплитуда вынуждающей силы предполагается фиксированной, а т => e,t, где е - малая величина. Типичным предположением является предположение о то.м, что со и а являются функциями «энергии» Е системы, т. е.

2Е=х + а{Е)х\ (5.10.2)

и тогда ищется колебательное решение

X =>а cos (vf -f- ф), = - av sin (vt -f- ф).

Если амплитуда a и фаза ф медленно меняются со временем за период Т = 2п/\, то можно усреднить соответствующее уравнение за период и получить решение с известной величиной ошибки (см., например, [52], стр. 17-18, уравнения (2.19) и (2.20)).



Такие усредненные уравнения, получающиеся в результате

Зномянутой процедуры, имеют вид

2v j 4

ЗШф, 2va

(5.10.3)

и они показывают, что предположение о медленном изменении амплитуды верно, если

\аа\.

Медленно меняющаяся фаза будет встречаться в таких областях плоскости (а,ф), где

/ R \1/2

V - Iffl + cos ф1

<v.

При отсутствии диссипации (а =• 0) система является канонической, и соответствующий гамильтониан имеет вид

Я(р, 6) = 4г i (ж) dx - 2еУрcos6,

где р - а?, ъ =1 §/2v.

Отсюда видно, что амплитуда а является ограниченной, если предел

lim [ 10)2 (а;2) - y\xdx

(5.10.4)

конечен и не равен нулю. В действительности это условие подразумевает, что система не ведет себя линейно ири больших амплитудах. За исключением тех интегральных кривых, для которых особая точка является предельной точкой, траектории в фазовой плоскости (а, в) замкнуты и не пересекаются друг с другом, если при этом отождествить точки 6 = О и 6 = 2л. При отсутствии диссипации особыми точками системы

а = -е81Пф, ф =-2:(и -v)--созф, (5.10.5)

которая относится к типу систем, обсуждавшихся в главе III, являются точки

а = О, ф = л/2, ф = Зя/2



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0141
Яндекс.Метрика