меняет быть оценен в результате следующей приближенной процедуры, если только интегральные кривые достаточно близки к центру. Линеаризация уравнений (5.10.5) в окрестности центра Ск дает

d -8ф, ф= -aft[aft -а],

Ф(Сй)==0, afe = a(Cfe), =ffl&(B/v+8/a2,

(Bfe =co(a(Cfe)), ffl; = ffl(«(Q)-

Такие линеаризованные уравнения очевидно могут быть записаны в виде

X -f е,ах = О,

где X = а - а (С). Таким образом, в пределе С = Ск и частоты в амплитуде колебаний х определяются формулой

и d =1 ф = о, т. е.

Ф = О, л, - v) = ± 8. (5.10.6)

Уравнение (5.10.6) описывает резонансную кривую системы в плоскости (а, v). Это означает, что координата особой точки а при данном значении v является корнем уравнения

v±(a) =• ((й±P/й)

где фаза ф = л при v = v+ и фаза ф = О при v = v-. Видно, что v+(a) является кривой центров, если v+(а) <; О, кривой седел, если (а) > О, и кривой смешанного типа, если v+ (а) = 0. Для v-{a) ситуация обратна. Приведем некоторые важные факты, справедливые для любой нелинейной системы.

а) Для любого значения частоты v существует по крайней мере один центр.

б) Число центров на единицу больше числа седел.

в) При малых вариациях каждая смешанная точка исчезает или распадается на пару точек: центр и седло.

г) Сепаратриса проходит через каждое седло и исключительные особые точки а = О, ф = л/2, ф = Зл/2.

д) Наконец, общей чертой движения без диссииации является то, что период, определяемый формулой

Т{С) =

Т(С) = -К

а при > 1

Г (С) = 2 [8а, (1 + Q/21-1/2 К (/Ц),

где К {к) - полный эллиптический интеграл первого рода с модулем к.

Мы можем проверить результат для центра, положив = ,= -1. Если Cfc-l, то Г-схэ, и в действительности случай Ck = 1 соответствует сепаратрисе.

Вариация амплитуды Да (амплитуда колебаний в окрестности центра) определяется формулой

Да (С) = max а (С, ф) - mina(C, ф), п, следовательно, получаем

Да = 2[2Д(1 + С,)а,]12 и

= [кт - vcr=~i] {Си > 1).

Эти результаты по существу описаны в наших статьях [32-36], но здесь мы следовали прямому описанию работы Бакаи [6].

В результате получаем, что Да увеличивается вместе с С*, стремясь к максимальному значению ири 1 слева, а затем

круто уменьшается; ири этом характер движения изменяется с

а период -

Ти = 2я .

В этой спстеме степень 1/2 возникает естественным образом, и обычная ссылка на изучение «пограничного слоя» едва ли необходима. Действительно, как мы видели в § 5 настоящей главы, при различных предположениях возникают различные степени е (уравнение (5.5.9)). В областях, далеких от центра, интеграл для Т{С) надо вычислять точно, и в большинстве случаев это можно сделать только численно. Однако, если а 3> е, то пренебрегая членами (е/а) и более высокого порядка, находим

ж = - е sin ф, ф =1 а,х, и при -1 < < 1 интеграл для Т (С) дает формулу

колебательного (конечные вариации фазы) на вращательный (неограниченные вариации фазы).

Если вводится диссипация, то картину фазовых траекторий также нетрудно найти, несмотря на «потерю» интеграла энергии (гамильтониан). Действительно, хотя траектории больше не являются замкнутыми, они приближаются или к замкнутым траекториям, или к неподвижной точке. В противоположность предыдущему случаю мы имеем следующие свойства.

а) Фаза ф особой точки не является постоянной. Для особой точки, определенной ветвью v+(a), имеем л/2 < ф «5 Зл/2, а для точки, определенной ветвью v-(a), имеем -я/2 ф < я/2.

б) При значении а, удовлетворяющем соотношению аа 2е, ветви V+ (а) и v- (а) сливаются с кривой, определяемой формулой v = v((o). При отсутствии трения ветвь v+(a) (или v (a)) лежит всегда над (или под) этой кривой.

в) Центры переходят в фокусы, которые устойчивы при d[aa)lda> О и неустойчивы при d{aa)lda < 0. Седловые и смешанные точки остаются.

г) Каждая фазовая траектория стремится к устойчивому фокусу или к устойчивому предельному циклу, окружающему его. Переход осуществляется через фазовую траекторию, имегонцую седло в качестве предельной особой точки. В этом случае одна ветвь приближается к фокусу, а другая - к предельному циклу.

В заключение мы хотим упомянуть важные результаты, полученные Мозером [62] нрц построении условпо-периодическпх движений, в частности, при построении движений в окрестностп резонансных систем.

Этот вопрос связан с возможностью применения к резонансным случаям теоремы Мозера об условно-периодических движениях, описанной в § 6 главы III. Обобщение этой теоремы для гамильтоновых систел! получено Мозером [62]. Если рассматривается система с Л степенями свободы, are - число рационально независимых частот невозмущенной системы, то в случае n - N применима теорема Колмогорова или теорема Мозера. Если и == О, то мы имеем положение равновесия, а случай п = i соответствует периодическому движению; первым этот случай рассматривал Арнольд [4]. Все остальные случаи I < п <С N являются резонансными, и кратность резонанса равна N - п. С точки зрения вопросов, описанных в § 3 главы III, резонансы рассматривались в статье Арнольда [5] при обобщении теоремы Колмогорова. Действительно, основные результаты работы Мозера содержатся в теореме Арнольда,- фатст, становящийся очевидным при сравнении, например, функции Ни (§ 3, глава III) с функцией Я из работы Мозера. В случае простого резонанса (т. е. n=N - I) результаты Мозера можно сформулировать очень просто.