|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [96] 97 98 99 100 101 102 103 104 Действительно, рассмотрим гамильтониан Н = Н{у1.....уг,, XI, Xj,, г), т;з,еН{у, х, 0)=Нд{у, х), а функция Н 2л-пернодпчна по каждой угловой переменной yi, ..., г/„ {n = N~l). Более того, для фиксированных значений х\,..., х-г, ограниченных в некоторой ограниченной области, мы будем считать точку у.у =ixir = О равновесным решением системы с гамильтонианом Но, т. е. = 0. При е = О на многообразии Xk = С = const, у = xif = О (ft = 1, ..., ге) (5.10.7) мы имеем «-нараметрическое семейство условно-нериодических движений. При условии, что положение равновесия является положением равновесия эллиптического типа, эти движения могут быть продолжены при достаточно малых возмущениях, т. е. ирн малых 8 ). Точнее, Мозер (см. [62], теорема 6) доказал такое утверждение. Теорема. Нустъ система с гамильтонианом Н{у,х,&) при е = О имеет равповесную точку и выполнены условия: 1) при 8 = 0, XN = yN=0, х = C{i, /, к= I, ..., п) дт дн дх.дх дх.дх дШ 2) если при е, = О, Xn = Уп- О, х = С, А = det
то при 8 = 0, Xn = yif = о, х = (г, /, ft = 1, ..., п) дН дН! дх.дхJ дх. дН ) Вопросы построения н исследования устойчпвостп таких движений рассматривались в работе [20*] {прим. ред.). Тогда при достаточно малых е существуют условно-периодические решения с п частотами, которые близки решениям, определяемым формулами (5.10.7). Разложение функции в ряд Тейлора осуществляется в окрестности решения (5.10.7), и положение равновесия Xx = yif=Q предполагается положением равновесия эллиптического типа, т. е. матрица dXjdyj ду% приводима к диагональной форме /а 0\ О а где а ф 0. Таким образом, окончательная форма гамильтониана такова: я = 2 ajXj + -i {Х% + Y%) + 0 (8), j=i lXj-Xj\ 0{г) {ii,...,n), \Х-х\ ~ \Yu-yN\ ~ 0(8*). Дифференциальные уравнения возьмем в виде у=а + 0(8), i==Q-bO(8), где у = {уи ...,Уп), 1= {Хи . ., Хп, х, у). Собственные числа матрицы Q таковы: (5.10.8) Qn = 0, Q = -Q+i =Y - i. Для применения теоремы Мозера (§ б главы III) необходимо построить модифицированную систему уа + к + 0{&), % = % + М% + 0{г). Однако, как показал Мозер, можно выбрать М = oQ, где вещественная величина о О, так что «растяжением» времени dx =\ (1 -{- a)dt находим п константы а,= (1+а)-Чв; + М МОЖНО получить соответствуюгцими величинам Сщ (ft = 1, ..п), которые удовлетворяют иредноложениям теоремы. Тогда в системе (5.10.8) будут существовать условно-периодические движения. Что касается периодических решенпй в окрестности положения равновесия, когда частоты нормальных колебаний являются рационально зависимыми, то этот вопрос первым изучал Зигель [73]. Он привел пример, показывающий, что распространение теоремы Ляпунова на этот случай не всегда возможно. Однако совсем недавно в работе Бергера [8] для гамильтоновых систем при отсутствии гироскопических членов была доказана одна важная теорема нз этой области. С другой стороны, Хенрард [44] в конкретной системе), в которой такие члены ирисутсгвуют, провел формальную нормализацию, и с помощью численных методов показал, что, ио-видимому, ири некотором резонансном соотношении между частотами нормальных колебаний в окрестности положения равновесия существуют периодические орбиты. Наконец, Рул [69], применив метод нормализации, показал существование периодических орбит, соответствующих рациональным частотам, в ограниченной задаче трех тел, а нозже [70] дал доказательство теоремы, обобщающей результаты Ляпунова. Точнее, периодические решения в окрестности положения равновесия будут существовать, когда Я, = ftAi (ft S= 4, %i - чисто мнимая величина) и выполнены некоторые условия, зависящие от ft и от членов более высокого порядка в разложении гамильтониана около положения равновесия. Здесь мы ограничимся упоминанием только наиболее важных результатов Бергера п Рула 2). Бергер обобщил теорему Ляпунова следующим образом [8]. Теорема. Пусть дан гамильтониан где у и х -п-мерные векторы, F (у) принадлежит по крайней мере классу C при О < у 2я, lim IIV1И0 /1/ = 0, а А- ) В работе [44] рассматривается движение в окрестности лагранжевых решений плоской круговой ограниченной задачи трех тел {прим. перев.). г/ = (1-Ьа)-1 (а + г.) + 0(8). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [96] 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0098 |
|