) Весьма примечательно, что, в отлпчпе от классического нерезонансного сл5чая Ляпунова, в резонансном случае в работах [44, 69, 70, 37*]. кроме того, обнаружены такие периодические движения, которые прп е >0 не переходят в положение равновесия {прим. перев.).

постоянная самосопряженная матрица размерности пХ.п с собственными числами ?ii, .. .,Хп- Если существует р собственных чисел, не обязательно различных, но равных величине kXJ (к - целое число для некоторого i j п, то существует по крайней мере р различных однопараметрических семейств Uj{e) (/ = 1, ..., р) периодических орбит с периодами Tj{e,). При 8->-0 все семейства переходят в положение равновесия и периоды равны 2л/Я;. Более того, если функция F{y) вещественно аналитична, то U;{&) и Tj{&) непрерывны в окрестности положения равновесия.

Ясно, что теорему нельзя применить, если гамильтониан содержит линейные но х члены, т. е. но вектору «скоростей». В этом случае применима теорема Рула при следующих предположениях [69, 70].

Теорема. Пусть дан вещественный аналитический гамильтониан- Н {у, х) в окрестности положения равновесия (О, 0). Если все собственные числа линейной системы в вариациях различны между собой, одно из них, например, Х,\, является чисто мнимым, и существует другое собственное число, например, }.2, такое, что Х2 = Ai (А; 4 - целое число), то существует семейство вещественных периодических решений, зависящих аналитически от вещественного параметра в окрестности полоокения равновесия, если, кроме того, число R(k) ф 0.

Это число зависит от й и от коэффициентов разложения функции Н в окрестности точки (О, 0) до членов четвертого порядка. Если 8 -> О, то эти решения переходят в положение равновесия, а их периоды, являющиеся аналитическими функциями параметра 8, стремятся к величине 2л/1 ?ii . Первое приближение для этого решения совпадает с первым приближением, получающимся в методе Ляпунова для нерезонансного случая ).

Разумеется, список результатов для многих частных случаев может быть продолжен до бесконечности. Мы хотим только упомянуть важные работы, которые написали Хейл 41] (особенно §§ 1П.5-III.11 и главы IV,V), Сансоне и Копти [72] (особенно §§ VII.l, VIII.7), Чезари.[16] (§8,9), Андронов и др [2] §§ (1.2-1.5, главы II, VI), Андронов и др. [3] (главы II, III, IV, особенно с важной точки зрения структурной устойчивости), Пемыцкий и Степанов [64] (главы IV, V), Ла-Салль и Лефшец [53] (глава 4, особенно с точки зрения обобщения ляпуновского метода исследования устойчивости), некоторые авторы- Трудов

Международного симпозиума по дифференциальным уравненпям и динамическим системам [42] (под редакцией Хейла и Ла-Сал-ля). Урабе [74] (главы 4, 5), Розе [71] (главы 9. 10, 12, 13, 18 и некоторые примеры на протяжении всей кшни), некоторые авторы в переводах Американского математического обгдества [1], Чен [17] (особенно некоторые примеры по вибрациям в нелинейных механизмах).

Одной из лучших работ по теории колебанпп в электрических системах, где анализируется проблема резонанса в некоторых ситуациях и для некоторых примеров, является работа Блакьера [10]. Наконец, много общих задач и специальных случаев, встречающихся в небесной механике, собрано в Трудах Международного симпозиума по периодическим орбитам, устойчивости и резо-напсам [35] (под редакцией Джакальи).

Очень часто утверждается, и в действительности с общемате-ыатпческой точки зрения это верно, что аспмптотпческпе методы не могут точно предсказать орбиты на интервалах времени, превышающие 1/е, где б - малый параметр задачи. Тем не менее, доказано, что такие методы (основанные главным образом па методах Линдстедта, Пуанкаре п Цейпеля) как в нерезонансной, так и в резонансной ситуациях, могут точно предсказать наблюдения на гораздо большие времена. Например, учет долго-периодических возмущений, произведенный для искусственных спугнмков Земли, должен был бы оставаться верным в течение примерно 2Х 10 часов (около 84 дней), а в конце этого периода точность долнша была бы резко ухудшиться. Однако при надлежащем использовании методов усреднения точность, лучшая, чем одна миллионная, может поддерживаться в течение 100 дней. Аналогичное утверждение верно и относительно справедливости норма.льных форм, полученных с помощью «вообще говоря, расходящихся» рядов. В этом отношении очень интересны замечания Мозера [59], сказавшего, что «...в случае системы с двумя степенями свободы такое преобразование (нормализация Биркгофа) может быть получено также только с помощью расходящихся рядов. Но при использовании понятия устойчивости в практических целях эти ряды дают вполне достаточное описание...». Замечание аналогичного рода было сделано Кинером [52], утверждавшим, что «...модель (маятниковая) справедлива для интервалов времени порядка I/V/22 (/22 - малый параметр задачи), например, в Течение периода колебаний». Утверждения такого типа должны сопровождаться словами: «если /22 - достаточно малая величина». Однако численная проверка показывает, что «эта теория может быть применена и для синхронных спутников Земли...». Мы хотим добавить, что времена, превышающие математический интервал справедливости теории возмущений, должны получаться в результате каких-то специальных оценок, сущест-

ЛИТЕРАТУРА

1. Almuhamedov, Bautin, Elsgolz, Malkin, Nemytskii. Stability and dynamical systems.- Amer. Math. Soc. Transl. ser 1, 1962, vol. 5

2. A H Д p о H о в A. A., В и т т А. А., X а й к п н С. Э. Теория колебаний.- М.: Физматгиз, 1959.

3. Андронов А. А., Л е о и т о в и ч Е. А., Гордон И. И., М а й е р А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1967.

4. А р и о л ь д В. И. О рождении условно-периодических движений из семейства периодических движений.-ДАН СССР, 1961, т. 138. .NJ 1, стр. 13-15.

5. Арнольд В. И. Малые зпаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике -УМН. 1963, т. 18, Ы 6, стр. 91-192.

6. В а к а i А. S. Resonance phenomena in nonlinear systems.- Diff. eq., 1966, vol. 2, p. 479-491.

7. В a к e r H. F. On certain linear differential equations of astronomical interest.-Phil. Trans. Roy. Soc. London (A), 1916, vol. 216, p.129-189.

8. В e r g e r M. On one parameter families of real solutions of nonlinear operator eqiiations.- Bull. Amer. Math. Soc, 1969. vol. 75, № 2, p. 456-459.

9. В h a t i a N. P., S z e g б G. P. Stability theory of dynamical systems.- New York: Springer-Verlag, 1970.

10. Блакьер 0. Анализ нелинейных систем.-M.: Мир, 1969. И. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике.-Киев: Изд-во АН УССР, 1945.

12. Б о г о л ю б о в Н. Н.. М и т р о п о л ь с к и й Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Физматгиз, 1963.

13. В о h 1 i п К. Uber die bedeutung der prinzips der lebendigen kraft fiir die frage von der stabilitad dynamischer systeme.- Acta. Math.. 1887, b. 10, s. 115-138.

14. В r о w n E. W. Elements of theory of resonance.- Rice Inst. Publ, 1932, vol. 19.

венно использующих те или иные особенности конкретной задачи.

Что касается представления движения в окрестности особых точек с помощью асимптотических методов усреднения, то, начиная с создания теории Хори [45], известно много работ, например, работы Гарфинкеля [30] (в этой работе есть хороший список литературы по рассматриваемому вопросу), Джакальи [32-34, 36] и Жуппа [47, 49].

Наконец, с важной точкп зрения построения и справедливости третьего интеграла движения, мы настоятельно рекомендуем несколько работ Контопулоса [21-25], так как, кроме тщательных аналитических выкладок, они содержат много обширных и производящих глубокое впечатление численных приложений п проверок, очень аффективные вычислительные процедуры для исключительно простых и академических параметров, и, кроме того, удобны для читателя, использующего методы усреднения в теории возмущений.