ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЗАМЕЧАНИЯ, НЕКОТОРЫЕ ОТКРЫТЫЕ ВОПРОСЫ И ИССЛЕДУЕМЫЕ ЗАДАЧИ

Методы усреднения используются уже довольно давно, и к настоящему времени мы накопили опыт их применения и приобрели необходимую интуицию. Они дают удивительно хорошие результаты, которые, вообще говоря, даже .лучше, чем можно было бы ожидать исходя из чисто математических оценок. Как бы ни была хороша оценка для общего случая, ясно, что в конкретной задаче может быть получена лучшая оценка. Другим аспектом рассматриваемого вопроса, особенно в задачах, где угловые частоты могут быть получены непосредственно из наблюдений, является то, что значительно более хороший результат получается, еслп такие частоты (их численные значения) используются в аналитической теории. Тогда периодические колебания около некоторых средних значений, полученные в виде аналитических выражений, оказываются в хорошем согласии с наблюдениями. Вероятно - это одна из причин успеха теории движения Луны Хилла - Браупа по сравнению с теорией Делоне. Рассмотрение вопросов такого рода иоказывает, что эта старая проблема остается открытой до сих пор, и никакие имеющиеся в нашем распоряжении «современные» методы не дают возможности вычислить действительные частоты нелинейной системы. Для приложений эта проблема остается нерешенной, так как в приближениях рядами, сходящимися или только формальными, может быть вычислено лишь конечное и, вообще говоря, очень небо.льшое количество членов. Пока нельзя найти способа выражения общего члена и суммы этих рядов. В прошлом этого можно было достичь только для тривиальных примеров. Таким образом, мы обращаемся к нелинейному методу решения. Можно добавить, что ускоренные методы сходимости, типа метода Ньютона, которые были введены Колмогоровым, привели к реальному прогрессу в достижении этой цели. Но даже здесь известны случаи, когда метод Ньютона не дает квадратичной сходимости: должны быть удовлетворены некоторые специальные условия. Кроме того, до сих нор были развиты только численные приложения этого метода. В численном анализе существуют также методы решения дифференциальных уравнений, которые в конечном счете дают сходимость лучше квадратичной. В основном они известны под названием методов Эйткена. Например, если при сведении интегрирования к задаче о неподвижной точке имеются три после-

) См. монографию [17*] и другие работы авторов из Института Теоретической Астрономии АН СССР, а также работу [18*], посвященную использованию ЭВМ для исследования поведения гамильтоновых систем вблизи положений равновесия [прим.. перев.),

довательных приближения к точке, т. е. ж„-1, а;„, a;„+i, то отличная оценка неподвижной точки (или корня соответствующего уравнения) дается формулой

(я„+1 - %)

Это соотношение точно оценивает сумму геометрической прогрессии в том смысле, что если взять Xn-i = 1, a;„= 1 + е, х+х =i = 1 + 6 + 62, получим a;„+2= 1/(1 - е). Этот и другие интересные методы описываются в работе Фиджина [7]. Как можно использовать такие ускоренные методы в аналитической теории,- это открытый вопрос.

Существуют другие методы, кроме тех, которые используют процедуру усреднения, однако они не стали такими же популярными, как эти последние при действительном применении методов к решению задач с помощью степенных рядов по (малому) параметру. Методы усреднения просты, наглядны, понятны и, что самое главное, систематизированы. Это означает, что они легко переносятся на автоматические способы решения (с помощью итераций) на электронной вычислительной машине с алгебраическим символьным манипулятором. Такие машинные мапипуля-торы, специально приспособленные для метода усреднения, были созданы в работах Депри и Рома [23, 24, 30.2,31.2] и Джеффри-са [14]. Кроме того, в Смитсоновской астрофизической обсерватории в Кембридже (Массачусетс) Ж. Черняк [16*] создал специальный язык, основанный на системе FORMAC и приспособленный для решения аналогичных задач).

В работе [2] Арнольд анализировал некоторые нерешенные проблемы, и, насколько нам известно, они остаются нерешенными и сегодня. Хотя большие успехи были сделаны при качественном изучении динамических систем, по-прежнему очень мало известно о двумерных системах и еще меньше для многомерных случаев. Первый вопрос, поднятый Арнольдом, связан с устойчивостью положения равновесия эллиптического типа в системах с числом степеней свободы, большим двух. Аналогичную трудность представляет собой вопрос об обобщении теоремы Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке на случай высоких размерностей системы. Кроме того, Арнольд имел дело с устойчивостью по мере для динамических систем, которая связана с тем свойством, что большинство изменений начальных условий сохраняет

) Такая устойчивость называется устойчивостью для большинства начальных условий (данных) или устойчивостью но Арнольду (прим. перев.).

) Этот эффект называют еще «диффузией Арнольда» (прим. перев.).

2) Об оценке скорости «диффузии Арнольда» в многомерных гамильтоновых системах см. работы Н. Н. Нехорошева [38*-41*] (прим. перев.).

условно периодический тип решения). С другой стороны, так как промежутки между инвариантными торами для случая размерности, большей двух, являются связанными между собой и неограниченными, то траектория, проходящая между двумя инвариантными торами, не обязательно будет оставаться близкой к одному из них или являться ограниченной,- этот случай Арнольд, назвал топологической неустойчивостью ). Вопрос заключается в том, является ли такая ситуация типичной для динамических (гамильтоновых) систем с более чем двумя степенями свободы). Арнольд также упоминает тот факт, что нет хотя бы приближенного доказательства существования зон неустойчивости (хоатическое движение) Пуанкаре в окрестности точки гиперболического типа. Мы хотим напомнить, что уже после этого Денби [6] для конкретной динамической системы показал, что в действительности такие зоны существуют. Хотя в его работе используются численные методы исследования, тем не менее, без сомнения, ясно, что такие зоны могут и не существовать.

Другой задачей является задача о больших возмущениях. Если рассматривать для сильно вoзмyIleнныx систем исходный вопрос о существовании инвариантных торов, то можно видеть, что никакого прогресса в его решении нет, хотя Контопулос [5], исходя из полуаналитической точкп зрения, получил очень интересные результаты, связанные главным образом с выводом о разрушении в конечном счете третьего интеграла движения.

Следующим и по трудности, и по ванности вопросом является вопрос об обобщении теории Флоке - Ляпунова на случай условно-периодических систем. Если у - вектор размерности га,

и дифференциальные уравнения для него У = Y (у) имеют периодическое решение у = у {at) с периодом Т = 2л/ю, а У (у)фО при всех t, то соответствующая система уравнений в вариациях имеет вид

y=%Cy{(ot))8y

В теории Флоке - Ляпунова устанавливается сущестование системы нормальных координат, в которых эта линейная система с периодическимц коэффициентами сводится к линейной системе с постоянными коэффициентами. Другими словами, вводится такая угловая переменная 9 и такой (и-1)-мерный вектор х, что