с определенной вероятностью «накрывает» неизвестное нам значение ПН-в этом случае говорят об его интервальной оценке. При этом следует различать две возможные ситуации. В первой из них нет никаких сведений о законе распределения отказов приборов. Этот случай называется непараметрическим, а применяемые для него формулы носят наиболее общий характер. Во втором случае закон распределения отказов известен, а соответствующие формулы для оценок называются параметрическими. Ниже рассмотрены методы непараметрических оценок, так как законы распределения отказов СПП, как правило, неизвестны. С методами нахождения оценок ПН в параметрическом случае можно ознакомиться по работе [8.53]. Рассмотрим сначала методы точечной оценки ПН. (Эти оценки принято обозначать «крышечкой» над соответствующим показателем.)

Для точечной оценки ВБР используют одно из следующих соотношений:

R{ti)\-iln (8.10)

или [8.53] • 4,

R(h)=\-il{n+\), (8.11)

(г0 = («-г+0,7)/(и+0,4), (8.12)

где /-число отказов к моменту ti, п-объем выборки (т. е. число изделий).

Выражение (8.10) следует применять для выборок больщого объема, а (8.11) или (8.12)-для малых выборок. Вопрос о том, какую выборку считать большой, а какую-малой, не имеет строгого решения. Можно рекомендовать считать выборку малой, если и<30-+50. Во всех случаях.для оценки ИО можно применять следующую формулу [8.53]:

4ti) = VHti)-Riti.x)\Kti.,-U)R{ti)- - (8-13)

Интенсивность отказов можно оценивать и не вычисляя ВБР, а непосредственно по экспериментальным данным. В этом случае необходимо использовать соотношение

[n-d(ti)]{ti+i-ti)

(8.14)

где d{ti) и d{ti+i)-число отказов в моменты ti и U+i. Средняя наработка до отказа оценивается , по формуле

= 1?( + (и-)о

i=l

где d-число отказавших за время испытаний СПП.

/«, (8.15)

Наконец, у-процентные показатели оцениваются исходя из формулы

[«(fO + l]/«l-Y/100,

где n(ti) - число приборов, отказавших до момента f.

Пример 8.1. I. Определение точечных оценок для ВБР и ИО.

а) Пусть при испытаниях 20 тиристоров в течение 1000 ч наблюдались 2 отказа. Требуется по этим данным оценить ВБР и ИО.

Решение. В соответствии с формулой (8.11) имеем /=2, п = 20, откуда

1-г7(и+1) = 1-2/21 «0,905,

т.е. iR(1000) = 0,905. Для ИО по формуле (8.14) +1 = 1000, /, = 0, d{ti + i) = 2, J(/i) = 0, откуда

? = 2/(20-1000)=М0- 1/ч,

т. е. X,(0f 1000 ч)= 1 • 10"" 1/ч. Можно убедиться в том что по формуле (8.13) мы бы получили Х,=0,95 • 10"" 1/ч [jR(?,) = l, P(f,+i) = 0,905]. Различие между полученными значениями вызвано тем, что для оценки ВБР было использовано (8.11), а не (8.10). Если считать R по (8.10), то значения ИО, вычисленные обоими, способами, совпадут.

б) Пусть по данным эксплуатации известно, что из 5000 тиристоров за 1000 ч отказали 475. Оценим ВБР и ИО.

Решение. В соответствии с формулой (8.10) jR(1000 ч) = = 1-475/50000,905. Для ИО по формуле (8.14) находим

>:=475/(5000 • 1000) = 0,95 • ГО"* 1/ч.

Отметим, что в обоих рассмотренных случаях получено одно и то же значение ВБР и ИО, но в случае «а» - на основании испытаний 20 шт. тиристоров, в случае «б»-на основании данных эксплуатации 5000 шт. тиристоров. Однако разный объем исходной статистической информации на точечных оценках никак не отражается. В то же время интуитивно ясно, что степень доверия к результату в случае «б» гораздо вьппе, чем в случае «а». Поэтому кроме точечной оценки всегда желательно указать интервал значений, который с достаточно большой вероятностью «накрывает» неизвестное нам значение ПН. Пусть речь идет о ВБР. Тогда необходимо по соответствующим данным найти нижнюю jR„ и верхнюю границы ВБР и указать, с какой вероятностью интервал [R„, jRb] накрывает неизвестное нам значение R:

Рг {K<R<R,} = P*.

Верхняя доверительная граница для ВБР определяется из уравнения

Рг{хЛ7?з}= i С-„{\-КУЯГ=\-Р1, (8.16)

х = 0

где X-число отказов, возможное при испытаниях п элементов (т. е. л: = 0, 1, 2, и); d-фактически полученное число отказов;

-число сочетаний из п по х; Р1-доверительная вероятность для верхнего доверительного предела. Аналогично имеем

Fr{xd\R} t C;f(l-i?„)-i?r-=l-P*, (8.17)

x = d

где -доверительная вероятность для нижнего доверительного предела. Если устанавливаются совместно оба предела, то общая доверительная вероятность

Р* = Р*+Р*-1. (8.18)

Уравнения (8.16), (8.17) называют уравнениями Клоппера- Пирсона. Они отвечают биномиальной схеме испытаний. Эта схема применяется тогда, когда неизвестен закон распределения отказов и принимается лишь одно допущение: вероятность отказа или ВБР для каждого СПП (элемента) одинакова. Аналитического решения эти уравнения не имеют. Их численные решения табулированы во многих руководствах [8.54, 8.55]. Кроме того, разработана номограмма [8.56], позволяющая с достаточной точностью находить решения этих уравнений, в большинстве случаев, представляющих практический интерес. Кроме [8.56], номограмма подробно описана в [8.57; (§8.13, гл. 19)]. Один из вариантов этой номограммы показан на рис. 8.12. Вернемся к примеру 8.1 и найдем для него доверительные границы для ВБР с доверительной вероятностью Р* = 0,9.

II. Определение интервальных оценок для ВБР и ИО.

Решение, а) Из уравнения (8.18) для Р* = 0,9, полагая Р* = Р1, находим /"„ = Р*з = (1+Р*)/2 = (1+0,9)/2 = 0,95.

На сетке номограммы находим две точки: А и В. Точка А имеет координаты и = 20 и d=3, точка В-и = 20 и d-l=2. Через точку А и точку 0,05 (1-Р*) на правой шкале проведем прямую линию, которая пересечет левую шкалу в точке = 0,345, откуда JR„= 1- = 0,655. Через точку В и точку 0,95 (Р1) проведем другую прямую, которая пересечет левую шкалу в точке „ = 0,044, откуда Jb = 0,956. Таким образом, случайный интервал [0,655; 0,956] накрывает истинное значение ВБР с вероятностью 90%. Hq найденным значениям R легко находятся и доверительные границы для ИО. Применяя формулу (8.13) с учетом того, что (0=1 и подставляя вместо jR(fi+i) то jR„, то Rb, получаем

Рг {Х„ = 0,44 • 10-м /ч < < 3,45 • 10-М/ч = } = 0,9.