В соответствии с видом характеристики фильтра нижних частот эквивалентная полоса пропускания шумов размещается таким образом, чтобы ее левая граница совпадала с нулевой

Рис. 12 4. Сравнение значений полосы пропускания шумов и полосы пропускания сигнала трех различных фильтров нижних частот: однополюсного (а),

многозвенного ш-го порядка (б) и баттервортовского ш-го порядка (в), у однополюсного фильтра, который можно рассматривать как частный случай двуя

остальных при т=1. \ F(jf) \ Ку[1 + (f/fn Af=(n/2)fe, &f=f. Прн увеличении порядка т значения полос пропускания шумов и сигнала многозвенного фильтра уменьшаются и отношение Af/Af приближается к 1: [F(lf)\

=К7[1 + (Wb)]". Afm=fB dx/{l +х)т, Af,=fB-]/2VSr7ri.

Баттервортовский фильтр m-ro порядка имеет фиксированную полосу пропускания сигнала; полоса пропускания шумов с увеличением порядка т приближается к этому же значению: \ F(jf)\=,Ку[1 + a/fj"l f=fJл/2m).sш(n2m)f-f.

частотой. Ширина полосы пропускания шумов в я/2= 1,571 раза шире полосы пропускания сигнала Afc=fB-О,

АД = 1/2яС/?, (12.7)

которая определена частотой, на которой коэффициент пропускания F уменьшается на 3 дБ:

\F{JU\ = \/V2--ЗдБ. (12.8)

Этот результат можно распространить на любой однополюсный фильтр нижних частот (рис. 12.4, а), имеющий передаточ-ную функцию вида

Положив Fm=K, получим

AL = (K/2)f3=l,571/,.

(12.10)

В силу нерезко выраженной праницы полосы пропускания однополюсный фильтр нижних частот будет передавать без видимого ослабления и те составляющие белого шума, частота которых на 57% превышает принятую нами за верхнюю частоту сигнала /в частоту на уровне -3 дБ.

12.1.3. Многозвенный фильтр нижних частот т-го порядка

Можно ожидать, что более крутой спад коэффициента пропускания за пределами частоты среза фильтра будет сдвигать верхнюю цраницу полосы пропускания шумов Л/ш в направлении к верхней частоте полосы пропускания сигнала Afc. Многозвенный фильтр нижних частот т-го порядка, частотная характеристика которого показана на рис. 12.4,6, образованный, например, каскадным включением т идентичных однополюсных фильтров нижних частот описанного выше вида, имея передаточную характеристику

F{jf)=mi+}f/fr, (12.11)

пропускает шумы в полосе частот, которая формально выражается как

Afm--=fB Гй!х/(1-ЬхГ = Ут.

(12.12)

Значения интеграла Jm в уравнении (12.12), рассчитанные с использованием рекуррентного соотношения Jm=Jm-{2m-3)l /2{т-1), Ji = n/2, приведены в табл. 12.1.

Таблица 12 1

Ширина полосы пропускания шумов и сигнала многозвенного НЧ-фильтра ш-го порядка

Для сравнения со следующим фильтром укажем, что многозвенный фильтр т-го порядка имеет на частоте fs спад коэффициента передачи, равный -тхЗ дБ (-6 дБ при т=2), и что-

за пределами частоты /в его коэффициент передачи спадает с наклоном -»гХ20 дБ/декада (-40 дБ/декада при т = 2). Полоса пропускания сигнала на уровне -3 дБ

при увеличении порядка Д/ш/А/с стремится к 1.

(12.13)

т также сужается, и отношение

12.1.4. Фильтр нижних частот т-го порядка по Баттерворту

Широко используемый фильтр с максимально плоской частотной характеристикой (рис. 12.4,8)

\РиП\==К/УШШ (12.14)

имеет полосу пропускания шумов

Д/ш=/в (Jt/2m)/sm (я/2т). (12.15)

При увеличении порядка т ширина полосы пропускания шумов приближается к верхней частоте /в (табл. 12.2), которая в этом случае тождественна полосе пропускания сигнала:

Af-f, независимо от т. (12.16)

Таблица 12.2

Полоса пропускания шумов НЧ-фильтра т-го порядка по Баттерворту. Полоса пропускания сигнала этого фильтра не зависит от порядка т и совпадает с верхней частотой fs

12.1.5. Простой полосовой фильтр

Полосовой фильтр с частотной характеристикой

F (if) =К + /Ш (I +П1!Л

(12.17)

Наиболее удобным способом решения соответствующего интеграла J dxl(\+!") является применение теоремы о вычетах.