Сравнительные достоинства и недостатки этих двух способов аи проксимацин производной dTldi. рассмотрим далее в § 3.2.

Займемся теперь построением выражения для второй пронзвот ной д-Т/дх. Исполь.чуя значения искомой функции Т/ в трех соседних узлах пространственной сетки, запишем

Ьх !,1 дх \ дх In h

(3.8)

Для обоснования выражения (3.8) используем представление и \ помощью рядов Тейлора в точке (х,,. т):

т. ,

1 дГ

дх j

I д Т у if-, дх !п 2 д Т \! Л"

Тогда получим

дх i !2

т. е. выражение (3.8) действительно дает оценку второй производной, а для величины у;, при достаточно малых h выполняется [!еравенство

\i\<:A,h\ или Гг--{Щ- (3.9)

Итак, подставив выражения для производных (3.5) и (3.8) в уравнение теплопроводности (3.1) получим

, , , , (3.10)

Однако пользоваться соотношением (3.10) в качестве требуемого нам уравнения для искомых значений Та нельзя, поскольку величины

и у! зависят от производных высших порядков решения Т (-v. т) II нам неизвестны. Напрашивается предложение; учитывая свойства (3.6) и (3.9), выбрать достаточно малые Лт и/г и вообще пренебречь величинами 6, у. Тогда получится такое уравнение

a = -

(3.1

Обратим внимание на то, что изменились неизвестные: в (3.10) эни были обозначены через 7"/, а в (3.11) - через и/,. Это изменение неслучайно. Действительно, если бы мы знали величины и 7 -I решили бы уравнение (3.10), то получили бы точные значения тем-1ерлтуры в узлах сетки Однако мы пренебрегаем этими величи-1ами и получаем упрощенное уравнение, при решении которого мож-

но лолучить лишь приближенные значения температуры, которые и обозначены через w: и{ ф Т-. С другой стороны, поскольку б/ и у; малы, то можно надеяться, что и будут не слишком сильно отличаться от Т{. Вопрос об обоснованности этих надежд мы будем обсуждать ниже, а сейчас продолжим составление уравнений.

Уравнения (3.11) можно записать для всех внутренних пространственных узлов (п - 2, N - 1). >равнения для и и получим из граничных условий (3.2). Просчейишй способ построения уравнений для граничных узлов состоит в замене производных в (3.2) разностными отношениями

Ti - т{

- у.

,v -

(3.12)

\x-t> h

где X, = 0(h), xj - 0(Я).

Подставляя (3.12) в (3.2) и пренебрегая малыми величинами и xJ, приходим к уравнениям для граничных узлов:

и., - и

(3.13)

Наконец, для определения значений Тп в начальный момент времени специальных уравнений составлять не надо, так как они, естественно, находятся WA начального условия (3.3):

П-Г„(л-. и поэтому w = T„(x,0, n-=\,...,N,

т. е. Т% определяем точно.

Теперь выпишем bl-kj систему уравнений для ujj и разберемся в

ее структуре:

при / - О

при / - 1,

"к (и{ - u.)lh

= -;-г +

Т,{х,), /г = 1,....Л; 2, J.

г- а„и{ (уравнение при

(3.14)

а 1/Я

II,,-

; n-2,,..,.V-1; (3,15)

Я a[ )ih + а/И;; -- qi (уравнение нри п = N).

Для наглядности будем отмечать узлы, значения и{ в которых определяются из системы (3.14)-(3.15), на пространственно-временной етке (рис. 3.2). В начальный момент времени То = О (нижний горизонтальный ряд) все ul вычисляются по начальному условию. см, (3.14). В систему уравнений для следующего момента времени (часто говорят «для следующего временного слоя») Tj - Лт входят только неизвестные и для этого момента времени, обозначенные нз рис. 3.2 символом «*», и .значения ц, для предыдущего момента времени. Отмеченная oco6eHHOL ib справедлива для любого последующего

i J=i

Рис. 3,2

временного слоя. Поэтому после определения ul из начального условия надо решить систему (3.15) прн / = I и найти все и{п = \

N) на первом шаге по времени. Далее, зная ul, решить систему (3.15) прн j = 2 и найти неизвестные и на втором шаге по времени и т. д. Таким образом приближенные значения температур определяются 1юследовательно по временным шагам.

Теперь введем терминологию, используемую в численных методах. Дискретное множество {л:,,), называется пространственной сеткой, дискретное множество {т),р - временной сеткой, дискретное множество (область) Q/,,at-- пространственно-временной сеткой

Совокупность значений Г; = Т {х,1, Tj) в узлах пространствен но-временной сетки называется се точной функцией точного решения Совокупность приближенных значе НИИ uj называется сеточной функ цией разностного решения или просто pasHOifUHbiM решением. Различие между Т и uj называется

погрешностью разностного (численного) решения. Эту погрешность будем обозначать через

Система алгебраических уравнений (3.14), (3.15), соответствующая исходной дифференциальной задаче (3.1)-(3.3), называется/jaworm-ной схемой.

Из изложенного ясно, что прн решении дифференциальных уравнений численными методами можно выделить следующие этапы: 1) замена исходной области непрерывного изменения переменных пространственно-временной сеткой; 2) построение разностной схемы: 3) решение системы разностных уравнений.

Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Основным требованием к разностной схеме является стремление сеточной функции разностного решения uj к сеточной функции точного решения Tj при стремлении к нулю тагов по пространственной н временной координатам. Погрешность различна в разных узлах пространственно-временной сетки. Для того чтобы охарактеризовать погрешность во всей области Q/,,ax, вводят одно число, которое называют нормой погрешности и обозначают ПеЦ. Нормы сеточных функций определяют по аналогии с нормами функций непрерывных аргументов. Определим норму сеточной функции в дискретной области ?/,,лт следующим образом:

(3.16)

= шах

п. I

Заметим, что возможны н другие математические трактовки нор-jr Например, можно использовать нормы вида [241

Используя понятие нормы, сформулированное требование к разностной схеме можно записать в виде

im Ui\=0. (3.17)

Условие (3.17) называется условием сходимости разностной схемы. Оно должно быть выполнено.

Погрешность НеП может стремиться к нулю при измельчении

сетки с различной скоростью. Если при достаточно малых Дт и h выполняется условие

< Cl Дт + Сз hP

(3.18)

где Cj, Сз - постоянные, не зависящие от Дт и h, то говорят, что разностная схема сходится со скоростью О (Дт*" + hP) или порядок точности схемы равен г по временной н р по пространственной переменной, т. е. понятие порядка точности характеризует асимптотическое поведение погрешности при измельчении сетки.

Требование сходимости приводит, в свою очередь, к требованию выполнения для разностной схемы двух условш - аппроксимации и устойчивости. Можно доказать (см. ниже), что при наличии аппроксимации и устойчивости всегда будет иметь место и сходимость. Остановимся на понятиях аппроксимации и устойчивости подробнее, начав с первого.

Вернемся к переходу от уравнения (3.10) для сеточной функции точного решения к разностному уравнению (З.П) для нЛ Эти уравнения отличаются на величины 6; и 7/,, стремящиеся к нулю при Дт-»- О и h--*- 0. Поэтому точные сеточные функции Ti в общем случае не удовлетворяют уравнениям для разностного решения, а при подстановке Т в эти уравнения возникает некоторая невязка "фЛ Для разностного уравнения (З.П) эта невязка определяется так:

у/ -р!

/ дТ

J- (П+("2П+П-1)

--фб;;(Дт)+?7(/)- (3.19)

Невязка ф/, которая возникает прн подстановке сеточной функции точного решения в уравнение для разностного решения, называется погрешностью аппроксимации исходного дифференциального

уравнения разностным уравнением. Эта невязка, как слет соотнои1еинй для п у, стремится к нулю при измельчении

Аналогичным образом определяются невязки для разност 1внений (3.13), которыми мы заменили точные граничные vcioru

дТ дх

и аналогично i - (h).

Для характеристики погрешности аппроксимации всей разностной схемы вводят ее норму Ilij/Ji, определяемую как и из (3JG)

Условие аппроксимации исходной дифференциальной чадачц разностной схемой заключается в том, что 1Югрещность аппроксимации должна стремии.ся к нулю при измельчении пространстсенио-временной сетки"

(3.20)

Иначе говоря, различие между уравнениями разностной схемы )i точными уравнениями должно уменьшаться при уменьшении шагов Дт и h. Стремление к нулю «отл15чцтельных членов> и позволяет надеяться на сходимость к Т[\ ведь если уравнения «почти одинаковы», то и решения, по-вндимому, должны быть «почти одинаковы». Однако ниже мы увидим, что последний тезис ие всегда справедлив, так как и при наличии аппроксимации решения могут быть неблизки, если не выполняется условие устойчивости.

Если 111}-/,!! О (Дт "Г ?г)> то говорят, что имеет место аппроксимация с порядком г по времени и ? по пространственной координате.

Подчеркнем, что погрешность аппроксимацин не следует путать с погрешностью разностного решения; первая характеризует различие между уравнениями, вторая - различие между решениями этих уравнений Tj и иГ

Пз полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнеине (3.1) с первым порялком по времени и вторым по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) = О (Ат - h). Далее в § 3.3 рассмотрим способ построения разност ных уравнений для граничных точек, позволяюпгнй получить второй порядок аппроксимации по координате.

Существуют различные способы построения разностных схем, для которых выполняется условие аппроксимации. Сейчас мы исполь-7Р

путь состоящий в замене отдельных дифференциальных one .вз-" fff дТд-Т исходной задаче выражениями, в которые вхо-ратор° ат сеточной функции Т/ и некоторые добавочные члены. *яшиеся к нулю при измельчении сетки (б/, у/, xf,, хр. Эти до- Р члены называют погрешностями аппроксимации соответ-рочиь ффрренцнальных операторов. Погрешность аппроксима-ствУ авнения является в этом случае алгебраической суммой по-uHi еЙ аппроксимации отдельных операторов и также стремится до прН Дт ~> О, Я-> 0. Возможны и другие пути (юстроепия раз-ных схем, некоторые из которых будут рассмотрены ниже. Если "«остная схема уже построена каким-либо путем, то проверить зичие аппроксимацин н выяснить ее порядок можно, (юдставнв вразностную схему сеточную функцию точного peineHHH 7/ и вы-разложения в ряд Тейлора около точки {х„, т), для которой записано соответствующее разностное уравнение.

Перейдем теперь к условию устойчивости. Выполнение этого ус-ювия необходимо для того, чтобы лрн достаточно малых погрен!-ностях аппроксимации Ф/j можно было бы получить достаточно малые погрешности разностного решения f„ .

Понятие устойчивости связано с «поведением» ногреишостн к при Дт О и Л 0. Как было отмечено выше, рассматриваемая разностная задача решается последовательно во времени, причем реше ние на (/- 1)-м слое используется для определения решения на /-М слое Погреп;иость г\ на первом временном слое уже будет отлична от пуля и будет зависеть отд:«- На втором временном слое погрешность определяется 1Югрешностью на предыдуием слое и погрешностью аппроксимации -1. Таким образом, происходит как бы «перенос» погрешности разностного решения с предыдущего шага текущий н ее «взаимодействие» с погрешностью аппроксимации. Если схема не обладает устойчивостью, то при решении задачи в результате описанного процесса происходит как бы «усилением погрешности е по мере продвижения во времени. Появляется и развивается так называемая «разболтка» (или «раскачка») схемы, догорая выражается в том, что погрешность увеличивается по модулю и меняет знак при переходе от одного временного слоя к следую-Щ. Качественное поведение погрешности для неустойчивой схемы ллюстрирует рнс. 3.3. В итоге к концу рассматриваемого временного Интервала Tav либо получается разгюстпое решение w/,не и.меющее чего o6ui,ero с точными значениями температуры 7", либо разност-"б решение достигает столь больших значений, что возникает оста-зз программы из-за переполнения порядка eui,e до достижения "ца временного интервала.

ри измельчении сетки в случае неустойчивых схем погрешность Уменьшается, несмотря на уменьшение погрешности аппроксима-