где К+у,, K~iU - эффективные теплопроводности от 1. H+il и Хп], соответственно

dx К{х]

1/2

Очевидно, что аппроксимация (3.44) удовлетворяет условию с сования потоков.

Подставляя полученные выражения для тепловых потоков

нение теплового баланса (3.40) для элементарной ячейки"

чаем следующее разностное уравнение:

Un-i

Xn+l/2 f, -i-K

Полу.

-0, (3.4o,

а„ (x) d x,

In - {hn + ftii-i)/2 - длина элементарной ячейки, величины а ii и представляют собой средние по объему (в одномерном случае по длине) ячейки значения и q.

Можно показать, что разностное уравнение (3.45) аппроксимирует уравнение (3.39) с порядком О {h) на равномерной сетке и с порядком О [h) на неравномерной сетке.

В случае непрерывности функций I (х), а,, (х), q {х) интеграль; от них обычно заменяют простейшими квадратурными формулами. Для £7„ и а„ чаще всего полагают

т. е. заменяют соответствующие интегралы формулой прямоугольников.

Эффективные теплопроводности „±1/2 вычисляют одним следующих способов:

а) K±i/2 l{Xn:ti/2); (3>

б) К±1/2 =[>{Xn±i) + l{x„)V2; (3.4

в) --ЩХп)ЦХг,1У[1(Хп) + 1{Хп±д1 (3-

Последнюю формулу можно трактовать как результат суммйр: ния двух последовательных сопротивлений участков с теплопрово-иостями X (Хп) и X (x„±,) длиной hl2 каждый.

нем чго сли функции X, а„, q имеют разрывы между ЛоДР повышения точности разностной схемы, как прави-рп ™ вычислять интегралы точно. Особенно это существеи-10, слсДУ многомерных задач, когда приходится вести расчет при "ilqHo грубых сетках.

доста р.ррели построение разностной схемы методом баланса иоиарного уравнения. Его целесообразно применять и д.1Я ционарного уравнения. В принципе вопрос о том, на каком д.г1Я неста брать аппроксимацию пространственного оператора, временно. 32. Поэтому для перехода к нестационарной за-ууже ZjqfjQ в приведенных выше аппроксимациях пространст-даче до .j-pa поставить у сеточных функций индекс настоящего венного F . (jQfjeH-i-a времени. Однако для уравнений, нлнпр коэффициенты, зависящие от времени, целесообразно ьзовать метод баланса в нестационарном варианте. Кроме то-""на основе такого подхода проще получать аппроксимации для аничных условий и пояснять их физический смысл.

Рассмотрим построение консервативной разностной схемы в случае нестационарного уравнения для стержня с боковым теплообменом:

Х{х)

a(x)7 + £7„ {х, т).

(3.49)

Уравнение теплового баланса для ячейки [х->Д на про-

межутке времени от t , i до Xj имеет вид

1 + 17 2 J

j cp{Tf-Tf~)6x= 5

n-ll2

n+lJ2

qn+l/2 +£7n~l/2 +

(3.50)

Здесь выражение в левой части представляет собой количество теп-jiOTbi, идущее на нагрев элементарной ячейки. Аппроксимируем ле-Ую часть (3.50) выражением

правой части равенства (3.50) для аппроксимации интегралов пространственной переменной используем выражения, приведен-выше. Для аппроксимации интегралов по времени нужно при-ь какое-то предположение о характере изменения температуры

времени на интервале [xji, Ту1. Примем, что в любой точке этого

интервала температура постоянна и равна средневзвешен чению от Г- и Т/: "У

Г. (т)(тП-)-(1-о) ТГ,

где а параметр, который может принимать значение от о Тогда при вычислении интеграла по времени получаем еле-выражение : Уоще

j ТДт)атЛт1аПт-(1-о)П].

Подставляя выражения для те]1ловых потоков в уравнение бз са (3.50), записываем разностную схему

Ч (I

а.

/i4 I

+1 a

(3.51.

уравнения (3.51) записываются для всех внутренних точек теи При о -- О получаем явную схему, при о 1 - неявную, при а -- 1/2 - схему Кранка - Николсона.

Аппроксимация граничных условий. Перейдем к расе мот реи Ш-разностных уравнений для элементарных объемов, прилегающих" границам, в которых будут учтены граничные условия третьего pf-да (3.2) и которые замкнут общую систему уравнений разностное схемы.

Возьмем для определенности элементарную ячейку (О, /iv прилегающую к границе х О (рис. 3.6, б). При записи закона сохранения энергии для элементарной ячейки будем использовать 4iiC то неявную схему (при о = 1), а также полученные выше выра?ь иия (3.44) для тепловых потоков. Тепловой поток (все потоки отИ>- сим к единице площади поперечного сечения стержня), выходе щий из ячейки через границу х - г/г. равен

, где ,

+ l/2=--/li

- ГПТОК рассеиваемый в среду на гР™;/,,,Г,л: тепло" выделяемая внутрениимн источниками, q - .iVA MoUtHocTb. рассеиваемый с боковой поверхности. -

te.</hT -сть, расходуемая на нагрев элементарно-

объема,

.v..,pA-.(n~Tr l),

,3 закона сохранения энергии следует

4 /2

- а,, Ы] 4-i/o +

(3.52>

Первые трн слагаемых (3.52) совпадают с просгейшен аппроксимацией граничного условия (3.24), использованной Bwiue в § 3.2 и полученной простой заменой производной Конечной разностью. Дополнительные слагаемые учитывают действие внутренних источников, теплообмен с боковой поверхности и затраты теплоты на нагрев эле.ментарнон яченкн. Эти слагаемые пронорционильиы /ii, поэтому Прн h-1-у О обе аппроксимации граничного условия становятся идентичными. Можно показать, что погрешность аппроксимации граничного условия уравнением (3.52) - О (Л?) а уравнением (3.24)-О (Л,).

Аналогичным образом строится разностная аппроксимация граничного условия при X - /.

Как видно нз (3.52), пренебрежение второй группой слагаемых приводит, например, к тому, что не учитывается мощность, рассеиваемая в области, прилегающей к границе на расстоянии hy/2.

При небольшом числе пространственных узлов это может привести к заметным потерям мощности. Например, прн Н, h = 10 и (?р = const «теряется» 10 % полной моингости, что, разумеется, приводит к занижению перегревов. Еще большие значения Может принимать погрешность разностного решения без учета Мощности в прилегающих к границе областях в многомерных зада-зх, поскольку в этом случае пространственные сеткн довольно ГРубые н объем приграничных областей можег составлять значительную Долю общего объема тела.

Отметим, что при использовании явкой схемы аппроксимация граничных условий проводится аналогично рассмотренному выше случаю неявной схемы, но потоки q/, и £)" записываются че-

рез значения температуры с предыдущего момента времемг

\ При этом несколько изменяется по сравнению с Поо вие устойчивости. Оно становится зависящим от значен»?

нили-тп ----„ -------- .. "Г1И К0Э(2ф

циентов теплоотдачи на торцах и имеет вид

А т < min

Система уравнений (3.51) для внутренних точек п = 2, ... н уравнений типа (3.52) для граничных точек представляет собой консервативную неявную схему численного решения задачи (3.49) (3.2). Если просуммировать все уравнения разностной схему fi 1, Af, то получим сеточный аналог закона сохранения энергии для всей области (О, /]. Учитывая, что выполняется условие согласования тепловых потоков на границах э.тементэрных ячеек, в результате суммирования прндем к равенству, записанному ниже для упрощения обозначений при h = const:

qo + qi = ao u\ + +

2 vnUn

cp h

n = 2

(3.53)

Формула (3.53) имеет следующий смысл: сумма мощности внутренних источников U потоков теплоты, выделяющейся на границах, равна сумме тепловых потоков, уходящих в среду через границы" рассеиваемых через боковую поверхность, и мощности, расходу мой на нагрев стержня. Заметим, что если величины Цип ". прн q„ = q (х) путем приближенного вычисления соответству щнх интегралов, то «сеточная» полная мощность отличается от ист ного значен1)я полной мощности в исходной постановке на величину погрешности квадратурных формул интегрнрова

Свойство монотонности, кроме условия наличия свойства сервативности к разностной схеме можно предъявить еще разумное требование, выполнение которого обычно проверя-практике. Чтобы его сформулировать, запишем разностное ц-нне (3.51) для внутреннего элементарного объема с центром ке Хп в виде

Ь„ uiraur,, +с„ ы 1 +d„ uiT +е„ + i-gn.

ициенты имеют следующие значения (прн = const, h

6= 2а + фА*/ЯЛт, ii„ = c„ = a, 4-ср№Ат-2(1-о), e=f„ = (\~a), gn=qV>-

разностное решение идолжно правильно качественно отражать "ства различных точных решений. Из физических соображений "кает что прн прочих равных условиях увеличение любой тем- атурь!, стоящей в правой части равенства (3.54), должно приводить к возрастанию значения «/. Отсюда следует, что коэффнциен-с„. d„, en, tn должны принимать отрицательных значений, кли"п> О- В противном случае мы рискуем получить физически неправдоподобные решения.

Видно, что все коэффициенты, кроме d, всегда положительные. Условие положительности для „ имеет внд

ср/1ЯЛт--2(1--о)>0или Дт< 21(10)

(3.55)

Для явной схемы (прн с= 0) условие (3.55) совпадает с условием устойчивости (3.30). Для схемы Кранка - Николсоиа (при а = 1/2), которая устойчива при любом соотношении между Ат и h, т (3.55) вытекает ограничение на шаг по времени, обусловленное требованием получения физически правдоподобных решений. Действительно, еслн не выполняется условие (3.55), то при моделировании Процессов, для которых точные решения представляют собой монотонные по времени функции Т (х, т), могут получаться разностные решения, колеблющиеся по времени н по пространственной координате. Условие отсутствия колебаний разностного решения прн Моделировании процессов с монотонно изменяющейся температурой называется условием монотонности разностной схемы. Таким разом, недостатком схемы Кранка - Ннколсона, о котором мы Упоминали в § 3.2, является отсутствие монотонности при превыше-Тто °°Р°* критической величины шага по времени. Заметим, (ч..Увие монотонности не означает практической непригодно-ц ви ™*" схемы для счета. Однако в этом случае следует иметь Ние ™ качественное поведение разностного решения (измене-в пространстве н во времени) может противоречить фнзнче-ног •У. отя количественно величина погрешности разно-

решения [е/] = 17/ - и{\ может быть и достаточно мала. Иой "> Что в наиболее благоприятном положении с рассмотреи-овие rfccP*" находится неявная схема (о = 1), у которой ус-(0.55) переходит в dn - cph/X/x >- О и выполняется всегда.