Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Применение эвм

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

§ 3.4. МЕТОД ПРОГОНКИ

Перейдем к решению системы уравнений (3.51) - (3.52), полуц ющейся на каждом временном слое прн расчете по неявной схег] (полагаем в (3.51) с 0). Для нахождения значений /-М временном слое при известных значениях разностного решени во всех пространственных узлах предыдущего времрпног слоя необходимо решать систему алгебраических уравнений с чис-лом неизвестных Л, которое может быть достаточно велико (в pg. альных задачах несколько десятков или сотен).

Одним из лучших методов решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида является метод последовательного исключения Гаусса свыбором главного элемента. Расчет но формулам этого метода требует примерно арифметических операций, поэтому при достаточно больших Л потребуются значительные затра-ты машинного времени. Заметим, что при решении задачи но явной схеме число арифметических операций вычисления разностного решения на каждом временном слое по формуле (3.27) пропорционально М.

Особенность системы (3.51), (3.52) состоит в том, что в каждое уравнение для внутренних точек входят по три неизвестных, номера которых отличаются на единицу, а в первое и последнее уравнения для точек гг 1 н п - /V - по два «соседних» неизвестных. Если учесть такой специфический вид построенной нами системы рнзио-стных уравнений, то эффективность алгоритма ее решения можно существенно повысить.

Запишем систему уравнений в следующем каноническом виде; для граничной точки л= 1

ai"2 + 6i«i 4 di-O; для внутренних точек /г - 2, N - I

Яи".+1 + "я + =0;

для граничной точки п = N

(3.56)

(3.57)

(3.58)

Выражения для коэффициентов а,,, Ьп, с„, нетрудно получить из соответствующих уравнений разностной схемы.

Систему уравнепнй (3.56) - (3.58) можно записать в матричной форме, причем в матрице отличны от нуля будут лишь коэффициенты,

,„рся на главной диагонали и на двух прилегающих к ней

алях:

w

-tf,

Cj hj ffi С

h Dfl

<

<

,0 ChK

Напомним, что N уравнений системы получаются из матричной формы записи путем умножения каждой из. N строк на вектор-столбец неизвестных. При умножении строки на столбец элементы сод1шаковыми номерами перемножаются, а затем все произведения efлaдывaютcя.

Трехднагональный вид матрицы позволяет организовать вычисления по методу Гаусса так, чтобы не проводить операции с нулевыми элементами. Тем самым объем вычислений удается значительно уменьшить.

Модификация метода Гаусса для системы уравнений с трехдиаго-нальной матрицей называется методом прогонки. Рассмотрим этот достаточно простой алгоритм решения системы уравнений (3.56)- (3.58). Из первого уравнения (3.56) для п 1 можно выразить 11 через «2-

«1

здесь введены обозначения

d,!bi.

(3.59)

Далее, еслн подставить полученное выражение для ц, во второе Уравнение (3.57) для п - 2, то в нем останутся только неизвестные "а и и./.

аз Щ + 2 «2 -1 2 (А «2 4- g\) -\ 4 0.

Теперь можно выразить и через ив виде

f>i + C2 fi

Зак. 2217

(3.60) 97



Если аналогичную процедуру подстановки выражений дл {п ч- 1)-е уравнение вида (3.57) повторять для п =- 2, д/ i в результате получим рекуррентные соотношения, связываюцш пературы в точка.ч п и [п -{- I): М-

в которых коэффициенты f„ и „ рассчитываются по формула

Icp. с формулами (3.60)1.

Начальные значения /, и i. необходимые для расчета ко-:*ффд циентов /„ и g,, fio формулам (3.62), определяются соотношения», (3.59).

После вычислений всех коэффициентов f„ и g„ до (Л ~ рассмотрим последнее уравнение (3.61) прип -- N - \ совместное уравнением (3.58) исходной системы для п - N:

juf - I [n - I и /v -/ Ял -1 т

\b,w ыд + сд Яд. .Н- d,K 0.

Из решения этой системы двух уравнении найдем температуру в последней точке:

Теперь, двигаясь от точки N к точкам Л/ --

f3.63)

, Л/ - 2, i.

можно последовательно вычислить значения и„ по рекуррентной формуле (3.61) и таким образом найти решение во всех точках.

Итак, кратко сформулируем алгоритм расчета по рассмотренному методу прогонки:

1) вычисляют коэффициенты /i и по (3.59);

2) вычисляют коэффициенты L, g„ при п 2, .... Л - I по (3.62);

3) определяют по (3.63);

4) рассчитывают и„ по (3.61) в порядке убывания номера от - 1 до 1.

Вычисление /„ и g, (п. 1, 2) часто называют пря.мым .ходом пр гонки, а вычисление ы,, в порядке убывания номера п (п. 3, 4) " обратным ходом.

Для penieiiHH системы ется примерно 9/V ар

1ы (3.56) - (3.58) по методу прогонки треГ нфметических действий, т. е. значител

меньше, чем при использовании метода Гаусса для систем j. вида. Обратим внимание иа то, что число действий пропорциоп но ;V так же, как и в случае явной схемы.

Приведем программу (рис. 3.7), peaлvIзyющyю метод fipo Обращение к подпрограмме имеет вид

CALL SYSTRD (U, А, В, С, D, G, N, IER),

J bOlMlOUTINE SYSTRDCX,A,B,C,F.G,M.IER)

2 С ПОДПРОГРАША РЕШИЛ СИСШЫ УРАШЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОТШК»

3 DIMEHSION XC1),AC1),BC1),C(1),FC1),GC1)

4 IER=0

5 IFCN.LT.3)m"l

6 H-N-1

7 Т=В(1)

6 Х(1)=-А(1)Л

9 G{1)-~FC1)A

10 DO 1 1-2,М

И K=I~1

12 T-C(I)

13 S-B{I)+T»X<K)

14 X{I)=-A(I)/S

15 1 G(I)=-(F(I)tT»CCK))/S

16 Т-С(И)

17 X(N)=-(T»G(M)4-F(N))/{B{N)+T»X(H)) 16 DO 2 K=1,M

19 I-N~K

2в 2 Х(1)=Х{1)»Х{Ы)>С(1)

21 RETURN

22 3 m-\

23 RETURN

24 Ш>

Рис. 3.7

где A (N), в (N), С (N). D(N) - входные массивы длиной N, содержащие коэффициенты а, bn, Сп, d,„ определенные согласно форме записи уравнений (3.56) - (3.58); дополнительно следует определить д,у О, Г 0; N - число уравнений, входной параметр; G (N) - рабочий массив длиной N; U (N) - выходной массив, содержащий результат решения {и„}п-.х; IER-выходной параметр ошибки: .ER - О - ошибки иет, IER 1 - при N < 2.

5 3.1. ПРОГРАММНАЯ РЕАПИЗАЦИЯ *<СЛЕНН0Г0 РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ

Перейдем к методике составления программ численного решения Яомерных нестацноиарных задач. Рассмотрим в качестве при-. ра программу для рен1ения по неявной схеме нестационарного

гаНИРНил /о ЛГ\\ ........ й-,..41... тагт мллйноплРИ плТ» /V.. :--

*»ення (3.49) для стержня с боковым теплообменом при ir,, с граничными условиями треть "(3.3) при Го - const (рнс. 3.8).

с граничными условиями третьего рода (3.2) н начальным ус-v3.3) При То const (рнс. 3.8). пенаиая разностная схема, построенная методом баланса, при

см*?ч?°" по пространственной

координате сетке имеет вид (3.52) при о - 1) следующих уравнений:



5 6 7 6 9 lb

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 26 29

31 32 33 34 35 36 Э7 36 39 40 41 42 43 44 45 46 47 46 46 5в 51 52 53

ПРОГРАММА ЧИСЛИШОГО РЕШМЯ ОДНОМЕРНОГО НЕСТАЩЮНАРНОГО УРАВЧЕКИЯ ТШОПРОБОДНОСта для СТЕРВНЯ с БОКОВЫМ ТЕГШХ)БМЕНО« И BHn?l3ffiiJ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОТЫ ПО ШЗШОЪ РАЗНОСтаОЙ СХЕЗЕ

PRMRAM smo

DIMENSIOS и(51),А(5в),В(5в).С(50),1)(5в).С(5]).1(2в)

МАССИВЫ,используемые: в ПРОГРАКМЕ :

и-ИАССИВ ТЕМПЕРАТУР В УЗЛАХ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СШИ А,В,С.1)-«АССИБЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАШЕНИГ G-РАВОЧИЯ МАССИВ ДЛЯ ПРОГРАММ SYSTRD

ШАССИВ НОМЕРОВ ШАГОВ ПО ВРЕЭШ01. НА КОТОРЫХ ПРОИЗВОДИТСЯ ВЫВОД НА ПЕЧАТЬ

1. ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

1.1. ВВОД ПОСТОЯННЫХ КОЭФШИЕНТОВ даМЕРЕНЩЛЬНОГО УРАВНЕНИЙ и КРАЕВЫХ ШОШ :

CR-ЮБЕМНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ALFV-ЮБЕМНЫЯ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕЖООТДАЧИ

АЬР1,Аи2-К0ЭФ$ИЦИЕКта ТЕПЛООТДАЧИ НА ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ ГРАНИЦАХ Ч1,Ч2-ПЛ0ТН0СТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ПОВЕРХНОСТНЫХ ИСТОЧНИКОВ НА ЛЕВОЙ И ПРАЕЙ) ГРАНИЦА]! Тй-НАЧАЛЬНАЯ ТЕМПЕРАТУРА СТЕРКНЯ DL-ДЛННА СТЕРЖНЯ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЗАВИСИТ ОТ КООРДИНАТЫ X И ЗАД/етСЯ ПОДПРОГРАНМОЙ-ФУННЦИЕЙ AL(X)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НОВДОСТИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ 3;\ВИСИТ ОТ коорданАта и времени и задается ПОШРОГРАМНОЙ-ФУНКЦЙЕЯ QV(X,TAU)

READ ll,CR,ALPV.ALFl.ALF2,Ql,i32.Te,DL И F0RHAT(4Fie.3)

1.2. ВВОД ПАРАМЕГРОВ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ : Н-ЧИСЛО ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УЗЛОВ (НЕ БОЛЕЕ 5в) Ши-ШАГ ПО ВРЕМЕНИ

JK-ЧИСЛО ШАГОВ ПО ВРЕЖНИ ДО ОКОНЧАНИЯ СЧЕТА

М-ЧИСЛО МОМЕНТОВ ВРШЕНИ.В КОТОРЫЕ ВЫВОДЯТСЯ РЕЗУЛЬТАТЫ (НЕ БОЛЕЕ 2М ЦМ)-НАССИВ НОМЕРОВ ШАГОВ,НА КОТОРЫХ ВЫВОДЯТСЯ РЕЗУЛЬТАТЫ

READ 12,N,riTAU.JK,M

12 Р0КМАТ(15,Р1в.3.2Г5) REAP 13,(L(K).K-1,H)

13 F0RMAT(iei5) М4

2. ПЕЧАТЬ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ Ш PRINT ]4.CR,ALrV,ALFl,ALF2.Ql.Q2,Te,DL Щ

14 FORMATC5Х.-ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ;/IX.CR=,G12.4.3X,ALFV=,G12.4,3X. »ALF1- .012.4.3X. •ALF2= .G12.4/1X, Ql- ,C12.4,3X, (32- ,W2.4.3X, • те- .012.4.3X, DU .012.4)

ШНТ 15 .S,OTAU.JK.(L(K).K-1.»)

15 FORMAT( IX. N-. 13,3X, DTAU- ,C12.4.3X. JK-, I4>1X,

Рис. 3,8

МАССИВ L ;7(1X.1015))

3"

7i 1

35 С 86 С

аэ с эе с

91 с 92

93 С Э4 Э5 86

97 с Э8

ЙЭ с

из с

3. ЗАДАНИЕ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

DO 1 1=1.N

1 U(I)=T®

4. Ф0РКИР0ВАНИ1: МАССИВОВ А.В,с КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. НЕ ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ

Nl=tJ-l H=&L/N1

(Н-ШАГ ПО КООРДИНАТЕ)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ КОМПЛЕКСОВ

R1=CR*H»H/&TAU

R2=ALFV*H»H

R3=H«H

4.1. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЕРВОГО УЗЛА (1=1) А(1)И,

B(l)=-l.-(ALFltH-tR2/2.+Ri/2.)/AL(H/2.) С(1)=0.

4.2. УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ УЗЛОВ (1=2,....N-1) DO 2 1=2,N1

Х1=(Ы)»Н А(1)=1.

AA=AL(XI*-H/2.) G(n=«-(XI-H/2. )/АА

2 B(I)=-1,-C(1)-(R1+R2)/AA

4.3. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПОСЛЕДНЕГО УЗЛА (1=N

A(N)=0.

B([J)-i.-(ALF2HR2/2.+Rl/2.)/AL(DL-H/2.) C(N)=i.

J-HOHEP ШАГА ПО ВРЕМЕНИ

К-НОМЕР МОМЕНТА ВРЕМЕНИ ВЫВОДА НА ПЕЧАТЬ

НАЧАЛО ЦИКЛА ПО ВРЕМЕНИ

Ъ. ФОРМИРОВАНИЕ МАССИВА & КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

5.1. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЕРВОГО УЗЛА (Ы) S b(lb(Ri»U(l)/2.+QV(e.,J»DTAU)»R3/2.+Qi«H)/AL(H/2.)

5.2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ BHJTPEHHHX УЗЛОВ (Ь2,...,Н-1) Ю 4 1=2,N1 ХЬ(1-П.Н

&(I)=(Rl.U(ntqV(XI.J#I/rAU)#R3)/AL(XI+H/2.) 5-3. УРАШЕНИЕ ДЛЯ ПОСЛЕДНЕГО УЗЛА

I>(tJ)=(RUU(tJ)/2.+QV(r>L.J»r>TAU)*R3/2.-K32*.H)/AL(&L-H/2,)

6. РЕЯЕНИЕ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ела SYSTRD(U.A.B.C,&.G,N,IER)

IJ-РЕЗУЛЬТАТ РЕШЕНИЯ -МАССИВ ТЕМПЕРАТУР НА ТЕКУЩЕМ ШАГЕ ПО ВРЕЭШО! - ПРОВЕРКА УСЛОВИЯ ВЫВОДА НА ПЕЧАТЬ И ПЕЧАТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ fJ-NE.L(K)) GOTO 5

I6.J.(U(l).l=l.N)

Рис. 3.8 Продолжение



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33



0.0305
Яндекс.Метрика