Android-приложение для поиска дешевых авиабилетов: play.google.com
Главная -> Применение эвм

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

107 16 FORMAT(5Х,РЕШЕНИЕ НЛ ШАГЕ J=.Г4/5Х,ТИШЕРАТУРЫ U(I),I-1,

108 •/(lX,6Gi2.4))

109 С ПРОВЕРКА УСЛОВИЯ ОКОНЧАНИЯ СЧЕТА

110 5 IF(J.GE-JK) GOTO 6

111 J=J+1

112 GOTO 3

113 С КОНЕЦ ЦИКЛА ПО ВРЕМЕНИ

114 6 STOP

115 END

118 С ПРИМЕР ПОДПРОГРАММЬФУНКЦИИ "ТШОПРОБОДНОСТЬ" 117 FUNCTION ALa)

ИВ AL=i .+20.«Х

119 RETURN

120 END

121 ПРИМЕР nOjmPOrPAM(flJ-*yHKiaW "РАСПРЕЦЕЛЕНИЕ НОЯНОСШ "

122 FUNCTION QV(X,TAU)

123 1F(TAU-I»e,n.l,2

124 I QV=1.E4»(1,--100.»X»X)

125 GOTO 3

126 2 QV=0.

127 3 RETURN

128 ЕГО

ДЛЯ первого узла

Рис. 3.8 Продолжение

>з/2 " 2ДтЦ, + 2\3J "1 Чз/

для внутренних узлов {п - 2, .... -- 1)

«пН-1 -

cph"

Хп-\-,,

1+1/2

- (ln~-\-t

для последнего узла

N-1/2 Л2

N -1 /2

где K±Ui (-Y«±i/2)- Vi" = Qv [Хи. Ту). g.

На каждом шаге по времени для нахождения разностного р ния ип требуется решать мегодом прогонки систему N уровней

-раним образом процесс численного решения нестационарной за-и заключается в повторении на каждом шаге по времени одной т-ой » процедуры и последовательном определении ! , . . до конечного момента времени У. Ясно, что все найден-hie значения температуры в узлах пространственно-временной сет- хранить в виде массива нецелесообразно, так как это потребует начительного увеличения объема памяти. Поэтому при численном реихении нестационарных задач в виде массива хранят только те <1Н2чения температур, которые необходимы для вычисления на -текущем шаге по времени, а в интересующие моменты времени найденные температуры выводят на печать. При решении одномерной задачи по неявной схеме можно обойтись для хранения температур одким массивом U длины N. Действительно, перед проведением /-го щага по времени в этом массиве находятся значения {wd i

определенные на предыдущем шаге. Эти значения на /-м шаге нужны только для вычисления свободных членов d„ системы разностных уравнений канонического вида (3.56)-(3.58). Массив свободных членов {dn)=\ является одним из входных массивов для подиро-гра.умы SYSTRD, реализующей метод прогонки. После его формирования надобность в ц" пропадает и найденные при выполнении подпрограммы прогонки новые значения температур могут быть .записаны на место старых в тот же массив U.

На рис. 3.9 приведен алгоритм программы для решения одномерной задачи. Остановимся на ней подробнее.

Исходные данные можно разделить на три группы. К первой относятся постоянные коэффициенты и распределения, входящие в исд;одную дифференциальную задачу. Отметим, что при задании распределений Х (х), q„ (х, т). Tq {х) и т. д. целесообразно использовать соответствующие подпрограммы-функции или операторы-функции.

второй группе исходных данных относятся параметры разност-ои схемы: число пространственных точек Л, niar по времени Дт. число шагов по времени J до окончания счета. В третью группу одят данные, характеризующие информацию, которую необхо-0 выводить на печать. В приводимой программе в иитересую-. .рэсчетчика моменты времени Т/ выводятся все температуры /"lii. Эти моменты времени задаются массивом соответствую-меров времени

ых inaroB.

Wc" ввода исходных данных производится первое заполнеине Hf температур, в который записывается начальное распределе-

ларзРрэмма SYSTRD, реализующая метод прогонки, предпо-ьид система разностных уравнений записана в каноническом осущ -6) - (3.58). Поэтому для ее использования необходимо Иоиць расчет коэффициентов а„, Ь., с„, d„ для системы камского вида. Из уравнений (3.51) - (3.52) видно, что пыраже-



ния для коэффициентов «„, &„, с„ в нашем случае не содержат величин, нзменяюш.ихся во времени. С целью сокраш,еиия затрат машинного времени их вычисление целесообразно вынести за вре-мениой цикл. Этот этап вычислений реализуется операторами 71-84 Коэффициенты d„ всегда вычисляют внутри временного цикла так как они содержат значения температур с предыдуш,его времец.

Вдод исходных данных

Задание начального распределения

Вычисление о, Сп для прогонпи

начало цикла по времени

п = /, ... Вычисление d

Подпрограмма SYSTHD

Решение системы урадмений метсбом прогонки


Проверка услодий Вывода на печать

Печато


Рис. 3.9

fjoro слоя и должны пересчитываться на каждом временном шаге. Кроме того, в нашем случае величина qn, входяи1,ая в выражения для djt, также зависит от времени. Расчет d„ для граничных и внут-неиних точек реализуется операторами 92-98.

После формирования массивов коэффициентов й„, Ь,,, с„, d,, производится обрапгение к подпрограмме прогонки SYSTRD, при выполнении которой иайдеиные «новые» температуры помеш,ают в ее выходной массив U, где располагались ранее «старые» температуры.

Далее проверяется условие вывода иа печать (оператор 104), и если оно выполняется, то производится печать температур из массива и на данном шаге по времени. В противном случае осуществляется переход к следующему шагу по времени. Если номер текущего шага / достигает значения конечного числа шагов, то вычисления заканчиваются.

При составлении программы численного решения задачи по явной схеме для хранения температур следует выделять два массива. В ОДНОМ находятся температуры, найденные на предыдущем временном слое, а элементы другого массива - температуры текущего временного слоя - вычисляются по явным формулам типа (3.27) с использованием температур предыдущего слоя. После определения всех «новых» температур их значения переписываются в массив температур предыдущего слоя, и выполняется следующий временной шаг. В отличие от программы расчета по неявной схеме рабочих массивов для решения системы разностных уравнений ие требуется.

§ 3.6. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

Задачи теплопроводности, в которых коэффициенты Я, ср в дифференциальном уравнении или а в граничных условиях являются Функ11иями температуры, называются нелинейными. Нелинейными ЯВЛЯ10ТСЯ также задачи, в которых распределения .мощности внут-SeH"" поверхностных q источников представляют собой

ейпые функции температуры.

обходимость решения задач в нелинейной постановке возии-д.более часто при моделировании процессов, в которых тем-яость изменяется в широком диан, зоне. Например, теплопровод-измеь *й, применяемых в конструкциях криогенных систем, -ЬЗОГ)" от 1 до 15 Вт(м- К) в интервале температур Т = 5- ннты, Коэффициенты теплоотдачи излучением а,, могут изме-QT 20 более чем в Ю раз при изменении температуры поверхности п до 700 -С,

никз! решении нелинейных задач аналитическими методами воз-

кает

раэр полу,

"Ундественные математические трудности, которые требук "кп специальных методов пешения [3!. Причем возможное

щециальиых методов решения (.51. Причем возможность аналитического решения и выбор метода существенным




образом зависят от вида иелинейностей в дифференциальном ypgg мни и в граничных условиях, а также их функциональных описанй" Возможности численного решения нелинейных задач значитеть шире- Как мы увидим далее, алгоритмы численного решения так задач можно достаточно просто построить на основе рассмотреннь схем для линейных задач. При этом зависимости коэффициентов температуры могут быть заданы функциями любого вида.

Рассмотрим методы численного решения на примере следующр-задачи:

дТ 1

(3.64)

(3.65) (3.66)

где I (Т), q„ (Т), (Т), а, [Т), [Т], qi (Т) - произвольные функции температуры.

Запишем для уравнения (3.64) и граничных условий (3.65) неявную разностную схему, построенную интегроинтерполяционным методом. При этом учтем, что поскольку X, q зависят от температуры, а Т Т [х, т), эти коэффициенты также изменяются в пространстве и во времени.

Разностные уравнения для внутренних точек имеют внд

1С+/2("п+Г-"0 -

(ii-un-,]]-qZ. (3.67)

а для граничных точек

, -0 "i ~ ~ 2

??,-ср -. (3.68)

а; u w-q[

где qZ--qrAuT), < (иГ), яТ-(иТ), т. е. эти сеточ-ные функции определяются как значения соответствующей прерывной функции при Т ~- и"\ здесь m - номер времен1ЮГ0 слоя, выбор которого мы обсудим ниже.

Теплопроводности Хп±\/2 в выражениях для сеточных аналогов тепловых потоков (эффективные теплопроводности отрезков U,t-b

I ц \х x„+i)\ можно определить одним из трех следующих 5бов, см. (3-46) - (3.48):

с no-

Mi 1/2 --

Ч<)--Ч<А)

Рассмотрим два варианта разностной схемы, отличающихся выбором временного слоя т, по температурам которого рассчитываются коэффициенты уравнений (3.67) - (3.69). Разностную схему с

т =-- } - 1 будем называть квазилинейной, а схему с т /.....

нелинейной.

В квазилинейной схеме коэффициенты К±и\:. qin , о-К q- вычисляются по температурам uJi" предыдущего временного слоя, т. е. при решении разностных уравнений относительно температур и!п на текуП1ем временном слое эти коэффициенты известны, и система является линейной относительно ип. Решение иг, находится методом прогонки. Отличие численного алгоритма решения нелинейной задачи состоит лишь в том, что на каждом шаге по времени необходимо вычислять новые значения Я,, q, а, у и заново определять коэффициенты а„, Ь„, с„, d„ системы уравнений с трехдиагональной матрицей.

Сложнее обстоит дело с нелинейной схемой, в которой коэффициенты К.\/.у, qU, af), rx{, qa, q{ берут при значениях температуры "1 на исг.ом временном слое, из-за чего система алгебраических уравнен 1111 (3.67) - (3.69) становится нелинейной относительно искомой сеточной функции и. Системы нелинейных алгебраических уравнений решают итерационными методами, т. е. строят сходяшин-я итерационный процесс, на каждом шаге которого требуется решать систему линейных уравнений. Такие методы мы уже частично рассматривали в § 1,2.

Для рассматриваемых задач обычно используют два способа )ешеиия нелинейной разностной схемы (3.67) -(3.69) при m / 1ервый способ - метод простой итерации -- состоит в следующем. аждом /-М шаге по времени организуется итерационный про-•ic, в котором значения коэффициентов вычисляются по темпера-

УРам ui- в ск "Дем

предыдущей (s--1)-й итерации. Верхним индексом кобках будем обозначать номер итерации, выполняемой на теку-" шаге По времени, а индекс / при это.м будем опускать, имея в



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33



0.0092
Яндекс.Метрика