прилегающего к границе х = 1 и содержащего узел (х , (см. рис. 3.13), патучим Уг.,

"л-1, т "n.ii

«(у „. -W

(V+V-i)

.V -1

qdydx.

(3.77)

Для элементарных объемов, лежащих в углах, надо учитывать тепловые потоки в среду с двух смежных граней. Так для объема построенного вокруг узла (Xjv, Ух) (см. рис. 3.13) и имеющего величину (/гл/ -1 hH), получим

N -I

.V. 1

2-"л.. I

h,/2

J qdydx.

(3.78)

iv-i;2 0

Аналогичным образом метод баланса применяется и в бот сложных ситуациях. Например, для элементарных объемов, подобных изображенному на рис. 3.12, а вокруг точки in, т). Следует лишь аккуратно записать выражения для всех составляющих тепло вых потоков с учетом фактических площадей граней и объема эле меитарной ячейки. При этом в выражениях для копдуктнвиых теп левых потоков участвуют значения температур в соседних узл а в остальных выражениях используется только температура в данном узле. Заметим, что без применения метода баланса аппроксимации граничных условий в угловых точках вообш сен, так как непонятно, в киком из двух граничных условии ап ксимировать производную. аадз

Решение системы разностных уравнений. Вернемся к

(3.73)-(3.75). В случае использования явной схемы алго-- р чета ие имеет существенных особенностей по сравнению с це-ным случаем. Он сводится к повторяющимся вычислениям НИИ сеточной фуикции ui т на новом /-М временном слое по

laM в которые входят значения ип щ на предыдущем вре-слое. Расчет[{ые формулы различаются для внутренних, ме" цных и угловых узлов сетки. Вычисления реализуются в про-гр*" с помощью соответствующих операторов цикла, которые рамм „ сложной ступенчатой формы, подобных изображен-

" .я пис 3.12, а, могут быть довольно громоздкими. Недостат-

чи При граничных условиях 1-го рода оно имеет вид

многомерной явной схемы, как и в одномерном случае, явля-,а.ичие ограничения на шаг но времени, связанного с необхо-"остью выполнения условия устойчивости. Для двумерной зада-

ется

Ат <

/ 1

1 \

Неявная схема является безусловно устойчивой, однако ее реализация сложнее, поскольку на каждом временном шаге приходится решать систему уравнений относительно {NM) значений температуры ип. т на новом временном слое. Рассмотрим структуру этой системы конечно-разностных уравнений (3.76)-(3.78).

Искомые значения температур в уравнениях разностной схемы связаны между собой «по горизонталям» так же, как и в одномерном случае. Кроме того, имеются связи и «по вертикалям». Причем неизвестные любой в[1утренней горизонтальной прямой «взаимодействуют» только с неизвестными двух соседних прямых - верхней и нижней. Этот факт определяет ленточный характер матрицы линейной системы уравнений относительно неизвестных температур, возникающей при неявной схеме. Остановимся на этом подробнее.

В схеме (3.76) неизвестные температуры обозначены как элементы двумерного массива - ц. Однако при записи линейной системы уравнений всем неизвестным надо присвоить сквозную нумерацию и представить их в виде одномерного массива ~ вектор-столбца. Такая перенумерация позволяет представить систему разностных уравнений в обп1,епринятой матричной форме записи систем линейных алгебраических уравнений и воспользоваться стандартными программами их решения. Выполним перенумера11,ию по ризонтальным пря.мым слева направо и снизу вверх. В этом слу-. неизвестные нижней горизонтальной прямой обозгсачаются у "л, неизвестные второй горизонтальной прямой - им.\..\-

Общ* "Pfep такой перенумерации показан на рис. 3.14-д,** ФРУла пересчета индексов я, т двумерного массива в ин-

Одномерного массива имеет внд

ритм Vl CToifJ; введения новой нумерации формируется матрица А и „.ипмер U CBn6r,n.i.,v г. ......."...1", „.,,-,1....

свободных членов D линейной системы А и - D.

Рис. 3.14

Если рассмотреть какую-либо fe-ю строку матрицы А, ю дящие в иее ненулевые коэффициенты будут соответствовать те" пературам, участвующим в записи уравнения теплового баланса д!" -й элементарной ячейки, Из введенной нумерации и схемы (3 7б1 вытекает, что в балансе -й внутренней ячейки участвуют только температуры узлов с номерами k \, k -г \, k - N, k N, В балансах граничных ячеек участвует еще меньше температур. Д это означает, что в любой строке матрицы А коэффиииенты, отстоящие от диагонали далее чем на N, равны нулю:

0... о 0,.. -.. о,., ... 0,,,* О Р

пы,ц-ы~н

1 г } 5 6 7 8 9

Пример заполнения матрицы для области с девятью узлами, представленной на рнс, 3.14, показан на рнс. 3,15, в котором символом «X» отмечены ненулевые коэффициенты.

Таким образом все ненулевые коэффициенты лежат в ленте шириной 2 iV f 1, осью которой является главная диагональ матрицы-

В пределах ленты также могут встречаться нулевые коэф(()иш[ен-ты. Для прямоугольной области структура матрицы внутри ленты является упорядоченной, однако если рассмотреть область более сложной формы, например изобрй-женную на рнс. 3,12, то ленточный характер матрицы сохранит ся, но ненулевые коэффипиенть будут более сложным образом Р положены внутри ленты, "ц! что матрица А является симмстр

и поэтому достаточноформнрова1Ь и хранить в памяти* маши-ncjio верхнюю часть ленты. Симметрия матрицы вытекает

;oглacoвaння тепловых потоков между соседшмн элемен-У"" н объемами в методе баланса.

"Мы проводили перенумерацию «ио горизонталям». Можно было анизовать ее н «по вертикалям», двигаясь снизу вверх н с-пева на-оР Тогда ширина ленты равнялась бы 2 Л1 + 1, Оевидшо, что

прав

зремени выгоднее иметь минимальную ширину лепты. Поэто-"..едует проводить перенумерацию вдоль той коордшгать.!, по ко-jSpoi берется меньшее число узловых точек.

Таким обра:юм, при нспользованнн неявной схемы сначала в со-твегстБИНс принятой перенумерацией неизвестных проводится формирование ленты матрицы А и столбца свободных членов, а затем с помощью обращения к какой-либо стандартной ирограмлле решения линейной системы уравнений с ленточной матрицей находятся искомые значения температуры. Пример использования такюй стандартной программы рассматривается в следующей главе применительно к системе уравнений метода конечных элементов, которая также имеет ленточный вид.

Мы рассмотрели методику решения линейной задачи. В случае наличия каких-либо нелинейностей применяют такие же приемы, как и для одномерной задачи (см. § 3,6), и приходится на каждом шаге 1Ю времени решать линейную систему уравнений (при наличии Итераций - решать многократно) с меняющейся отшагз к пзагу (и от одной итерации к другой) матрицей.

Основной проблемой при реализации описанного подхода является быстрый рост затрат машинного времени с увеличением числа узловых точек в области. Например, при использовании специальных модификаций метода Гаусса для ленточных матриц число арифметических операций для решения системы уравнений пропорционально КО, где К - o6ni,ee число узловых точек в области, равное числу неизвестных в системе, L - ширина леты матрицы, Особенно неприятно это для нестационарных нелинейных задач.

С целью сокращения затрат машинного времени были разработаешь: конечно-разностные схемы, у которых эти затраты на каждом ге по времени пропорциональны числу узловых точек J\- Тпкие с:емы называются экономичными. Из экономичных схем, тюлучив-Рпространенне на практике, рассмотрим в следующем параг-Рфе локально-одномерную [24], К ее достоинствам относя тся безу- вная устойчивость, возможности применения как для д.Бух-, так

я трехмерных задач.

JP решении многомерных стационарных задач применяют два Иост°" черном составляется и решается система коп ечпо-раз-etf.jj" Уравнений для стационарной задачи. Эта система получа- (3.76) - (3.78) обнулением левых частей уравнений (так

экономии машинной памяти, а для многих алгоритмов и машин-

Рис. 3.15

как ~ =- 0). Структура матрицы системы стационарных разност ных уравнений полностью совпадает с рассмотренной выше для явной схемы, поэтому для решения стационарной задачи требуете" Число арифметических операций, пропорциональное /(L-. Впя случаев (особенно для трехмерных задач) такой подход привод к большим затратам машинного времени и памяти, резко возраста Ю1цим с увеличением числа узлов /(.

Другой подход, называемый «счетом на установле1ше», заключа ется в определении решения стационарной задачи путем моделиро" вания процесса выхода в стационарный режим нестационарного температурного поля, которое рассчитывается по какой-либо экономичной разностной схеме. При этом приходится делать определенное число шагов по времени. Общие затраты машинного времени равны произведению числа тагов по времени J на затраты на одном шаге. При использовании экономичных схем затраты на расчет ноля на одном шаге пропорциональны числу узлов сеткн /(. Поэтому общие затраты времени с увеличением числа узлов растут медленнее чем при реше1ши стационарной системы с ленточной матрицей. Кроме того, при счете на установление нет необходимости хранить в памяти матри[.у А, содержащую L/( элементов.

§ 3.8. ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА

Локально-одномерная схема является «типичным представителем» широкого класса схем, применяемых для решения многомерных задач и задач расчета совместно протекаюпих процессов, описываемых несколькими уравнениями (например, уравнениями теплопроводности и диффузии или уравнениями Навье- Стокса п энергии для потока жидкости). Отличительная особенность этих схем - сочетание сильных сторон явных схем {малые затраты машинного времени па шаге по времени) и неявных схем (безусловная устойчивость).

в таких схемах 11ротекание многомерного физического процесса на каждом временном шаге представляется как результат последовательной реализации соответствующих одномерных процессов, каждый из которых начинается от распределения ноля, возникн!-го гюсле окончания предыдущего одномерного процесса. На основе такого представления, называемого расщеплением задачи но пространственным неременным, моделирование одномерных процессов проводится с гюмощью неявных схем, а последовательное деист вие процессов учитывается по существу явным образом, т. е. peiueH многомерной задачи сводится к расчету на каждом шаге по врсме" набора одномерных задач, решаемых в случае уравнения теплопр водности методом прогонки. Применение неявной аппроксим одномерных задач обеспечивает устойчивость схемы, а обшее арифметических действий оказывается пропорционально чи •

] !8

, jjoBbix точек, поскольку алгоритм прогонки обладает этим свой-вом (см. § 3.4).

Диалогичный подход используется и для задач расчета иесколь-совместно протекающих процессов, в которых на каждом временном шаге расщепление проводится по физическим процессам, е последовательно решаются отдельные уравнения со своими граничными условиями, а значения величин, определяемых из других упавнений, берутся из уже полученных на данном или предыдуи1.ем временном шаге полей. После расщепления по физическим процес-(•ам отдельные многомерные задачи можно далее расщеплять и по пространственным координатам.

Описанная методика внешне весьма проста, однако ее конкретное воплощение, связанное с решением вопросов о том, «что можно и как нужно расщеплять», во многих случаях связано с большими трудностями и требует от расчетчика высокой математической квалификации и хорошего понимания физики исследуемого процесса.

Рассмотрим обоснование допустимости одного из вариантов расщепления и соответствующую этому варианту локально-одномерную схему применительно к задаче (3.73)-(3.75) при равномерной по пространственным координатам сетке с шагами и hy.

Для простоты покажем допустимость расщепления уравнения теплопроводности по пространственным переменным при достаточно малом шаге по времени без учета дискретизации пространственной области. С этой целью сопоставим точное решение уравнения (3.73) в конце малого промежутка времени [t j, Xj] с его приближенным решением w {х, у, Xj), получаемым в результате решения на этом промежутке времени следующей системы, возникающей при расщеплении:

, т , < т т-.

(f(x, у, Tj- ,).T{x, у, Tj i), д W д W

дт " ду

-. Ti < т < т-,

W{X, У, Ty j)--d(x, у, Tj).

(3.79) (3.80)

(3.81) (3.82)

мы предполагаем, что приближенное решение начинается из ного распределения Т (х, у, t,- i). Отметим, что сначала решается (38?" (3.79) с начальным условием (3.80), а затем уравнение 1уч iOTOpo.M в качестве начального условия принимается по-Гр "" к концу временного интервала распределение д (х, у, Т;). Нич"" условия для уравнений (3.79), (3.81) соответствуют гра-"ьгм условиям исходной задачи по направлениям х ц у.