•рн.юнтальмых рядов элементарных объемов (т= 1 и т=М} ц ностью идентична системе для внутреннего ряда. На втором -J аналогичным путем составляются конечно-разностные уравнен ллн вертикальных стержней (рис. 3.16, б).

Для простой области прямоугольной формы описанная !1роцел ра составления разностной схемы иа основе ее физической интернТ, гацин не сильно облегчает работу по сравнению с формальным путем" однако для более сложных областей (см. рис. 3.12) она оказывается весьма полезной и позволяет избежать ошибок-

Адиабаты

Адиабаты

Рис. 3.16

Приведенное выше обоснование допустимости при.меиения конечно-разностной схемы расш,епления носило полукачественный \а-рактер. Однако можно провести и строгое математическое дока-.иггельство )!аличия у схемы (3.88)-(3.91) свойств аппрокси.ма-ИИИ порядка О (Ат --hi hi) и безусловной устойчивости (см., например, 1241).

От.метим. что при рассмотрении свойства аппрокси.манпи вводится специальное понятие так называемой суммарной аппроксимации 24, KOTop(je заключается в следующем. Каждая из промежуточных систем разностных уравнений (3.88) илн (3.90) в отдельности не обладает свойством аппроксимации. Однако невязка, возникающая иа первом полушаге, компенсируется на втором полушаге, так что в цело.м получается погрешность аппроксимации, стремящяся к пулю при измельчении пространственно-временной сетки.

Рассмотренная для двумерного случая локально-одномерная с;<ема естественным образом обобщается и на трехмерные задачи. В этом случае вычисления на каждом шаге по времени проводятся в три этапа путем прогонок в гаправлепиях х, у и z. После прогонок в двух ианравлепиях находятся промежуточные распределения температуры, а после третьей прогонки - окончательное penieHM на данном шаге. За.метим, что мо1цность внутренних источников ц iipn расп],еплении уравнения теплопроводности можно «относить» .ибо к одному из направлений, как это было сделано вып1е, либо распределять с некоторыми весовыми коэффициентами между

fjbiMH направлениями. Например, для трехмерной задачи при •"длекии каждого из ол)1омерных уравнений можно записать в р5о член v« 3.

Кро- локально-одномерной существуют и другие экономичные уы. В частности, для двумерных задач получила распростране-е схема переменных направлений 14, 241.

3 9. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ

В качестве примера рассмотрим программу для решения по ло-кально-одиомер!юй схеме нестационарного трехмерного уравнения теплопроводности для параллелепипеда (рис. 3.17):

(3.92)

дТ дт

д-Т \

страничными условиями дТ

CC(j а,In

ft/.

: Л", У, Z,

(3.93) (3.94)

и начальным условием

Г(л-, у, Z, T)t ..о Т„.

При численном решении вводится сеточная функция т. к. соот-аетствукмцая температуре Т {х„, у,„, Zf,, т);

j„ I)/i.v, i/n=-(m -1)/г„, - {k-~\)h.

Локально-одномерная схема при пространственной сетке равномерной по каждой из координат х, у, 2 имеет внл" уравнения для первой промежуточной сеточной функции V;, „ t

2. т. k ~

I Я.-

2Х iT

21 V 3 Дт б-р ft

cphx

--0,

ПРОГРАММА РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНОГО ТРЕХМЕРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ПО ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЕ

DIMENSION ALF(6),QS(5),TV(ie),KW(iei), «A(2e).ВХ(20).C(20).D(2e),G(20),

#u(2a.20.2e).BY(2e).BZ(2e).w(2e}

1. ввод исходных ДАННЫХ DX.DY,D2 - РАЗМЕРЬ! ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

AL.CR - ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ОБЕМНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ QV - РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ALFIS) - КОЭФФЖЩНТЫ ТЕПЛООТДАЧИ НА ГРАНЯХ

(Х=г. Х=М, Y-e. Y=DY. 2=е. 2=D2) QS(S) - ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

ПОВЕРХНОСТНЫХ ИСТОЧНИКОВ НА Г:~ЯХ те - НАЧАЛЬНАЯ ТЕМПЕРАТУРА KX,№f,N2 - ЧИСЛО ТОЧЕК ПО ОСЯМ TAU - ШАГ ПО ВРЕМЕНИ ТМАХ - МАКСИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ

JV - ЧИСЛО ВЫВОДОВ НА ПЕЧАТЬ В ТЕЧЕНИЕ ВРЕМЕНИ rV(JV) - МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ ВЫВОДА НА ПЕЧАТЬ KV ЧИСЛО СЕЧЕНИЙ, ПЕРГ£НДИКУЛЯРНЫХ ОСИ 2,

В КОТОРЫХ ВЫВОДЯТСЯ НА ПЕЧАТЬ ТЕМПЁгАТУРИ KVV(KV) - НОМЕРА СЕЧЕНИЙ ВЫВОДА НА ПЕЧАТЬ

READ 1, DX,])Y,D2,AL,CR.QV

1 F0RMAT(5Fia.3)

PRINT 2.DX,DY,DZ.AL,CR,QV

2 EORMATC РАЗМЕРЫ:.3Gie.3/

»• Ab=,G10.3. CR=,G10.3, QV=\G10.3} READ 1. (ALF(JJ),N=1,5).(QS(N),N=1.S) PRINT 3,[ALF(N).N=1.8).IQS(N).N=1,5)

3 FORHATC КОЭФФИЦИЕНТЫ ТЕПЛООТДАЧИ: 750-10.3/ »• ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОПА;75G10.3)

READ 1. Т».TAU.ТМАХ PRINT 4,Т0,TAU,ТМАХ

4 FORMATS T0=-,FS.3, TAU=,G10.3, TMAX=,С1Й.З) READ 5. NX,№i,NZ,JV,KV

5 FORHAT(10I5) РНШ S.NX,NY.NZ

6 FORMATC ЧИСЛО УЗЛОВ:.315) READ 5. (KVV(N),N=1.KV1 PRINT 7,(KVV(N),N=1,KV)

7 FORMATC СЕЧЕНИЯ ВЫВОДА:7(1015)) READ 1, (TV(N),N=1.JV)

PRINT 8,(TV(N).N=1,Л) S FORMATC МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ ШВОДА: 7fSG10.3))

2. ЗАДАНИЕ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ DO 10 K=1,NZ

DO 10 M=1.KY

DO 10 N=1,KX 10 U(K,M,K)T0

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ВЕЛИЧИН

Рис. 3,17

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 58 66 70 71 72 73 74 75 75 77 78 79 80 81 82 83 84

87 86 88 90 81 92 93 94 95 86 97

101 102 108 104 105

KXl-HX-l m=ir:-i NZ1=KZ-1

Hx=ra/№ci

HY=DY/NY1 HZ=DZ/KZ1

R1=CR»HX»HX/AL/TAU

R2eCR«HY«HY/AL/TAU

R3=CR#H2#H2/AL/TAU

R4=QV«HX*HX/AL/3

IV*HY»HY/AL,/3

R6=QV*HZ*HZ/AL/3

с 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ПРОГОНОК А,В.С. С НЕ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ

DO И N=1.N«AX

A(N)=1. И C(N)=1.

С(1)=0,

DO 12 N=2.fiXl

12 BX(N)=-2.-Rl

ВХ(1)=-1.-R1/2.-ALF(1)«HX/AL BX (NX) =-1.-Rl/2. - ALF{ 2) t.HX/AL DO 13 H=2,KY1

13 BY(M)=-2,-R2 BY(l)=-l.-R2/2.-ALF(3)«HY/AL BY(KY)=-l.-R2/2.-ALF{4).HY/AL DO 14 K=2,N21

14 BZ(K)=-2.-R3 BZ(l)=~l.-R3/2.-ALF(5)#HZ/AL B2(N2)=-1--R3/2."ALF(8)»H2/AL TIME=0.

J=l Ul

С НАЧАЛО ЦИКЛА ПО ВРЕМЕНИ

15 TIME=J*TAU

С 5. ПРОГОНКИ В НАПРАВЛЕНИИ л

A(NX)=0.

DO 18 K=1.KZ

DO 18 M=I.KY С 5,1 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ D{K>

DO 16 K=2.NX1

16 D(N)=R4tRl.U(N.H,K)

D(1)-QS(1)«HX/Ab+(R4+RI»U(1,H,K))/2.

D(NX)-QS(2).HX/AU(R4+R1»U(NX,H.K))/Z. С 5.2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

CALL SYSIWdH.A.BX.C.D.G.NX.IER) С 5.3 ЗАПИСЬ ТЕМПЕРАТУР В ТРЕХ1ЕРНЫЙ МАССИВ

DO 17 N-1,NX

17 U{K,H.K)-W(N)

18 COHTINUE A(№C)-1.

0 6. ПРОГОНКИ В НАПРАВЛЕНИИ Y

tKC. 3.17 П

Piic. i.l продолжение

уравнения для второй про.межуточной сеточной функции ttJ, нн<е Дтя сокращения числа формул приводим лишь уравнения т1Я внутренних узлов, а уравнения для граничных узлов /п I М запишутся аналогично уравнениям для V,,, ,„, при I

cphy

n. II - I . k

уравнения для искомой сеточной функции и,, ц, соответствующей температуре на /-м временном слое.

Un.m.k- 1 2 4-

cphz

"а7

На каждом шаге ио времени для расчета разностного peineHnu nil. т. k сначала «прогонками по направлениям, парл.мельным оси \-э. определяется первая промежуточная сеточная функция V,,, !атем «прогонками по нанравленням, параллельным оси (/», вычисляется вторая промежуточная сеточная функция k н. нако-f/eu, «прогонками по ндправленням, параллельным осп г», находится чскомое решение и,-.. ,„. При этом сеточная функция Vn. ., . записывается на место функции и;/,",!,, функция - на у<е ш. а и;, k на место ,„, Поэтому для хранении сеточной функции температур исгюльзуется лишь один трехмерный Мйссив U размерами ,\ , .М v К.

Структура программы расчета трехмерной задачи во многом "хожа на рассмотренную в § 3.5. структур) программы для однп-ериой задачи. Основное отличие состоит в организации расчетов """утри цикла повремени. Каждый шаг по времени сосгош из тре.ч лей. в которых определяются сеточные функции V,,. i. (оперн-S ?~")- (операторы 106-121), ,„, , (операторы

137). Внутри каждой из этих частей проводятся -фогонки но -кому-либо одному направлению. Поскольку при этом .1ля каж-"0 направления (.v, и или г) нужно перебирать все параллетыи-ге HaV""" которые разбивается область, то внутри к;1ждан

астей организованы циклы по номерам точек разбиеии;! н.кк = г "Рпемдикуляриой паправлепню прогонки- Например, при *Tcf( k liporoifKaMH no .v in 1, Л) в циклах перебнр;

st-e Номера ш и в сечепии фг. Наконец, внутри -тих иик.ип!