На выходе нз тр>ы (г = /) граничное условие ставить не

до, так как в уравнении (5.19) мы пренебрегли второй произво 1" по координате z.

Определив температурное поле Т (г, z), можно иайти знач(

локальных коэффициентов теплоотдачи а (г) в любом сече

трубы по формуле

"W = lfU«/fl---()I (5.25)

где Т {Z) - среднерасходная температура жидкости в сечении вычисляемая по формуле

Отметим, что уравнение (5-20) по форме аналогично нестационарному одномерному уравнению теплопроводности для неограниченного цнлнндра, только вместо производной по времени записана

конвективная производная дТ/dz. Поэтому параболическое уравнение (5.20) может быть решено с помощью численных схем, рассмотренных в главе 3 для одномерных нестационарных задач теплопроводности.

Введем в двумерной области [О г < ЩуЛО Z I] равномерную по л н по 2 пространственную сетку: = (п~ 1)/г, hr = /?/(Л- I). п 1, Nr; z = {т - Щ, , (рнс. 5.5), и поставим задачу определения сеточной функции Tj,, = Т (и, z).

Для внутренних узлов сетки запишем разностную аппроксимацию уравнения энергии, учитывая, что конвективная производная аппроксимируется разностью «против потока»:

Рис. 5.5

U-n, т ,т-1

п+1 /2 ("n-fl, т-Wji.m) -

- Гп-1/2 («п.р

здесь Vn = V, (г„); Гп±1;2 = Гп± hrl2.

Разностные уравнения для узлов, лежащих на оси трубы (« m = 2, N), построим методом баланса, рассматривая элемеИ" тарный объем, который показан на рис. 5.5. Тепловой поток поступающий в радиальном направлении через поверхность = hj.12, равен

Р -к

•епловой поток Р", выносимый нз объема протекающей жидко-•i-bio- определяется выражением

Р"-С91--(«l,m-«l.m-l).

(5.28)

8 выражении (5.28) принято, что в элементарный объем жидкость дтекает с температурой Wi,,-!, а вытекает с температурой и,,,„, как jo следует из схемы «против потока». Приравнивая потоки Р н Р", получим

№ ("i.m -«l.m-l) > («2.m -«l.m) К (5-29)

Для узлов, лежащих на стенке трубы {п = N,.), разностные уравнения имеют вид:

в случае граничного условия (5.22)

(5.30)

-при простейшем варианте аппроксимации граничного условия

(5.23)

qwim), .... N.

(5.31)

В формуле (5-31) не учитывается тепловой поток, уносимый жидкостью, так как иа стенке vj -- у {R) ~ 0.

Условие (5.24) на входе в трубу задается точно:

(5.32)

Разностные уравнения (5.27) -(5.31) связывают значения сеточной функции в двух соседних сеченнях по осн z с номерами (т -1) W. При известных значениях -i (" - Ь Nr) этн уравнения образуют систему уравнений относительно Nr значений "«im сеточной функции в сеченин z = z. Система уравнений нме- трехдиагональную матрицу н может быть решена методом про-оики, которая проводится «поперек трубы». Таким образом, покроенная разностная схема аналогична неявной схеме для неста-JHoHapHoro одномерного уравнения теплопроводности, с тем отли-

йем Что роль временных слоев играют поперечные сечения z. Нервом сечении (т= 1) температуры задаются граничным условн-(5.32), а далее последовательно для каждого сечения решается

Тодом прогонки система разностных уравнений (5.27)-(5.31) ительно неизвестных и„, „{п = \, jV) н определяются тем-

атуры в данном сеченнн.

Перепишем систему (5.27) - (5.31) в каноническом виде (З.57 принятом в § 3.4 для систем с трехдиагональной матрицей:

«2.i

п+\П I «-1/2 , Р-

п-1, m

- WJV.

+ Тг (г«) О в случае условия (5.22)

+ «w--i.m - -- О В случае условия (5.23).

Из выражений (5.3;) легко определить коэффициенты a,i, <,it dn для формы записи (3,57), которая нспС(льзуетсн при обращении к стандартной подпрограмме SYSTRD, рассмотренной в §3.4. Отметим, чтоа,,, Ьп и г„ не зависят от номера поперечного сеченкя н рассЧ11тываются вне основного цикла, проводимого по этим сечениям.

Ниже приводится текст программы (рис. 5.6). предназначенной для расчета температурного поля жидкости по разностной схеме (5.27) - (5-32) и определения локальных коэффициентов теплоотдачи а (2„i)- Алгоритм расчета и структура программы в основном аналогичны рассмотренны.ч рацее в § 3.5 для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности, тадько вместо цикла по времени организован цпкл по поперечным сечениям 2„L(m 1, Л.)-Поэтому отметим лишь некоторые особенности этой программы.

Распределение скорости (г) в поперечном сечеиин, а также распределения Tw (z) и (z) описываются с помощью подпрограмм-функций с именами V, TW, QW, причем параметрами этих поД" программ являются относительная координата гrR или -=-- zll. Подпрограмма V задает распределение относительной скорости t-г i)!, а средняя скорость v входит в число исходных ДЗН ных. Признак IPR задает тип граничного условия на стенке: (5-2 или (5.23). В зависимости от значения этого признака различны* образом рассчитываются коэффициенты с и d для уравнение-

соответствующего последней точке п - Nr-

В каждом сечеиин после нахождения температур и„, pacciirw вается значение локального коэффициента теплоотдачи = а (z,„), определяемого согласно выражению (5.25). При этом

2 3 4 5

7 8 9

le и

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 36 39

40 41

с ПРОГРАША РАСЧЕТА ДВУЩРНШ) ТНШЕРАТУРНСЙЧ)

С ПОЛЯ аидаостй ш течении в ттв

DIHEMSION U(50>,A(50),B(50),Cf50). •D(50),C(50).ALF{I00),2V(20) С 1. В60Й ИСХОДНЫХ ДАННЫХ С DR,D2 - РЛдаУС И ДЛИНА ТРУБЫ

С CR,AL - ОБЕ)ЙАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ТЕПЖШЙОЛЮСП» С се - ТЕМПЕРАТУРА ЖИДКОСТИ НА ВХОДЕ

С VC - сре;щя СКОРОСТЬ

с NR.N2 - ЧИСЛО УЗЛОВ СШИ ПО R И ПО Z

С tf/ - число СЕЧЕНИЙ ПО ОСИ Z, В КОТОРЫХ

с ПЕЧАТАЕТСЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ

С ZV;MV) КООРДИНАТЫ СЕЧЕНИЙ ВЫВОДА РЕЗУЛЬТАТОВ

С 1РЯ - ПРИЗНАК ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ НА СТЕНКЕ

С ( I-ТЕМПЕРАТУРА. 2-ТЕПЛОВ0Й ПОГОН )

С ЗАВИСИМОСТИ ОГ КООРДИНАТ СКОРОСТИ. ТЕМПЕРАТУРЫ

С СТЕНКИ ИЛИ ШШСШ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ЗАДАСТСЯ

С ПОДПРОТАММАМИ-ФУНКЦШИ V(R). Tiil). 04(Z)

С МАССИВЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ПРОГРАММЕ;

С и(Ш) ~ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ттЕРАТУРы ш рлдаусу

С A(NR), B{NR), C(NR), D(NR). G(NR) - МАССИВЫ С ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОГОНКИ С С ПОШаЬС ПОДПРОГРАММЫ SYSTRD

С ALF(N2> - РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФШЦИЕНТОВ ТЕПЛ00ТДАЧ1 С ПО ДЛИНЕ ТРУБЫ

READ 1, DR,I)Z,CR,AL,Ue,VC

1 FORMATf6F10.3)

PftINT 2,№.I>2.Cft.AL,U0,VC

2 FORMAT! IJR=.Gie.3, D2=,Gl«.3, ai=.GI«.3/ * AU",G10.3, U0.G10.3, VC»,S1».3)

READ 3, NR,N2,MV.IPR

3 FESMAT(1015) PRIIJT 4.NR,KZ,IPR

4 PQRWAT(- NR=,13, flZ=.I3. !PR=\131 READ I. (2V(f;),A=l,iHV;

raiNT 5,(2V(N),f}=l.MV)

5 FORMATC КООРДИНАТЫ СЕЧЕНИЙ ВЫВОДА РЕЗУЛЬТАТОВ;7(6Gl0.3)>

С 2. ЗАДАНИЕ ТЕМПЕРАТУРУ ВО ВХОДНОМ СЕЧЕНИИ DO 6 М=1,!№

6 U{N)=U0

С 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯШД К0ЭФФИ1ШЕКТ(» ДЛЯ ПРШМЖ

KRUNR-1

HR=M/NRl

HZ=D2/(N2-1)

F=R*VC.HR«HR/AL/H2 С 3.1 ТОЧКА НА ОСИ ТРУБЫ

BlI)=-l.-F/4.V(e.) С(1)=0. С 3.2 КЭТРЕННИЕ ТОЧКИ DO 7 K=2,NR1

Рнс. 5.6

Ь4 R=(K-1)*HR

55 A(K)=(R+HR/2.)/R

56 C(K)=(R-HR/2.)/R

57 7 B(N)=-A(K)-C(K)-F»V(R/DR) 59 С 3.3 ТОЧКА НА СТЕНКЕ

59 A(NR)=e.

60 B(NR)=-I.

61 C(KR)=a.

62 IF(IPR.EQ.2) C(KR)=I.

63 L=I

64 С ЦИКЛ ПО СЕЧЕНИЯМ ВДОЛЬ ОСИ ТРУШ

65 DO I! М=2.К2

63 С 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ D(K) ДЛЯ ПРОГОНКИ

67 С 4.1 ТОЧКА НА ОСИ TPyHJ 69 D(l)=F«VO.)/4.U(I)

69 С 4.2 ВНУЭРЕННИЕ ТОЧКИ 7в DO О N=2.NRl

71 R=(N-1)"HR

72 9 D(N)=F>tV(R/DR)i*U(K)

73 С 4.3 ТОЧКА НА СТЕНКЕ

74 2=(М-1)И2

75 iF(iPR.Eq.i) ьт)=шг/ш)

79 lF(IPR.Eq.2) Il(KR)=QVI(2/Il2)*HR/AL

77 С 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНШКЙ

79 CALL SYSTRIi(U,A,B.C.Il,G,KR.lER)

79 С 9. РАСЧЕТ ЛОКАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛООТДАЧИ.

93 С 6.1 СРЕДНЯЯ ТЕМПЕРАТУРА В СЕЧЕНКК (ТС)

81 ТС=Э,

82 Ю 9 N=2,KR

83 R=(K-I)»HR

84 9 TC=TC+U(K)»R.V(R/I1R)+U(K-1)«(R-HR)«V((R-HR)/DR)

85 тс=тс#нк/оа/ш

86 С 6.2 КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ

87 ALF(M)L«(U(NR)-U(KRI))/HR/(U(NR)-TC) , 99 С 7. ВЫВОД ТЕМПЕРАТУР НА ПЕЧАТЬ

99 IF(2.LT.ZV(L)) GO ТО 11

9в L=L+I

91 PRINT 10. 2.Т:.(и(К).Н-1.КР)

92 1в FORMATC/ СЕЧЕНИЕ 2=.С10.3/ 33 » СРЕДНЯЯ ТМЕРАТУРА.С1Э.З/

94 *• РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПО РАДОУСУ:7(6GI1.3))

95 И CONTINUE

96 С КОНЕЦ ЦИКЛА ПО СЕЧЕНИЯМ ВДОЛЬ ОСИ

97 Сб. ПЕЧАТЬ ЛОКАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТН1Л00ТДАЧИ 99 FBWT 12

99 12 F0RMAT(/6X.2,9X.ALF.9X.NU)

т DO 14 M=2.KZ

lei F=ALF(M)#2.*DR/AL

1в2 2=(М-1)<.И2

1вЗ 14 raiKT I3.2,ALF(M),F

104 19 F0RMAn3G12,3)

1в5 STOP

106 END

Рис, 5.6. Продолжение

Piic. 5.6. продолжение

НЯЯ в данном сечении температура рассчитывается с помощью квадратурной формулы трапеций:

у„ т г,,. , и„. г,7п1/2, (5.34)

«= 2

а приближенное значение локального коэффициента теплоотдачи вычисляется так:

Найденные значения а накапливаются в массив ALF и вьшо-дятся на печать после окончания цикла по сечениям. Печатается таблица значений координаты z, коэффициента теплоотдачи а,„ п локального числа Нуссельта Nu a„,2R/X. Кроме того, в заданных массивом ZV сечениях выводятся значения температур и,,.,,

= 1. -., N,).,

Описание входных данных программы приведено в ком.ментарн-ях к тексту.

§ 5.3. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ОДНОМЕРНОЙ СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА В КАНАЛЕ

При расчете систем охлаждения различных технических устройств часто встречается задача совместного решения системы одномерных уравнений, описывающих распределения температур <тенки и жидкости по длине канала. Рассмотрим наиболее простой ариант этой задачи. В канале длиной / с площадью сечения стен-S\v н смоченным периметром / протекает жидкость с удельной плоемкостью с и массовым расходом G (рис. 5.7). Теплопроводность материала стенки может зависеть от температуры Хц;- - (Tyz). В стенке действует источник теплоты, для которого за-Ко?* ощность на единицу длины qi которая может зависеть от °РДииаты X и температуры стенки Гцг- Теплообмен между стенкой