Таким образом, в приведенных обозначениях линейная систр уравнений имеет вид:

[первые а, lij11. + %з = i.

1точки 52 = 2. ааа=0,

п-я точка стенки 127г-з-г a+a W%„ i-ba+3 lia .

rt-я точка жидкости (1+5 .-i + afc+e г„, г ITj ~-=b.n, k={n~2)X\0i S, л = 2, .... V-l,

последние гл-зЬ «.+2 jV- i +й+з U:2iv = 62,v- }, точки №2л--2 -:- Ws.v- 1 а+е Шз b2N-

Отметим, что массив В для столбца свободных членов формиру ется в программе «естественным образом» н номера его элементов совпадают с номерами уравнений в исходной линейной системе,

Таким образом, в приведенной программе при выполнении каждой итерации проводится формирование матрицы А и столбца свободных членов В соответствующей этой итерации линейной системы (строки программы 51 - 100), ее решение путем обращення к стандартной подпрограмме (оператор 102), присвоение элементам массива температур вновь найденных значений (операторы 114, 115). С этими новыми температурами производится возвращение к началу описанной процедуры. Выход из итерационного процесса происходит либо при достижении требуе.мой погрешности, либо прн превышении допустимого числа нтерацнй (операторы 117 и 119).

ГЛАВА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ

§ 6.1. ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТЕПЛООБМЕНА

В СИСТЕМЕ СЕРЫХ ТЕЛ С ДИФФУЗНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ

Система уравнений для результирующих лучистых потоков. Прч

анализе процессов теплообмена излучением часто возникает задала расчета теплообмена в системе тел, разделенных диатермнчной (аО солютно прозрачной) средой. Наиболее простая математическая модель получается при следующих допущениях:

температурное поле поверхности i-ro тела равномерное; поверхности тел - серые (коэффициент черноты не зави-от длины волны к численно равен поглощательиой способности

поверхности тел являются диффузно излучающими и диффуз-о отражающими.

Возьмем замкнутую систему Л тел (рис. 6Л), удовлетворяющих сформулированным допущениям. Сначала рассмотрим задачу определения результирующих тепловых потоков РГ, полученных каждым i-M телом в процессе лучистого теплообмена, при заданных температурах всех поверхностен Г; (/ = 1, Л). При решении

ft

уОтр

Рис, 6-1

Рис. 6.2

ЭТОЙ задачи требуется учесть многократные отражения лучистых потоков от всех поверхностей. Для этого выделяются следующие лучистые тепловые потоки (рис. 6.2):

собственный поток Я, определяемый согласно закону Стефаиа- Больцмана,

Р.=.е;ОоТ?5ь (6.1)

Где Оо - постоянная Стефана - Больцмана; - площадь поверхности;

падающий поток Я" поток, попадающий на поверхность "ГО тела ОТ всех тел системы с учетом многократных отражений;

Поглощенный поток ЯГ" и отраженный поток Р", связанные с падающим соотношениями:

рпогл рпад рпщ />9тр . рпад -g.J рпад (5 2f

•"де Г; = (1 8-) коэффициент отражения;

эффективный поток Я?*, равный сумме собственного и отраженного потоков,

к. 2217

(6,3)

Эффективный поток Рс представляет собой лучистый уходящий с поверхности 1-го тела в систему, причем в нем совмест

поток

учитывается к;1к собственное излучение, так и отраженное Им

введение понятия эффективного потока позволяет легко состав! систему алгебраических уравнений, из решения которой мож"" найти и результирующие потоки.

Падающий на г-Ю поверхность поток РТ можно выразить через эффективные потоки Pf* со всех остальных поверхностей ее ли известны угловые к(>эф)ициенты излучения (fji-:

(6.4)

Напоминм, что угловой коэффициент ф г; равен отиои!ению лучистого потока Pji, падающего на i-ю поверхность с /-и. к полному потоку, излученному с /-й поверхности по всем направлениям. Он зависит только от геометрии системы. Переизлучение после отражений при определении не учитывается. Если г-я поверхность вогнутая, то следует учитывать и коэффициент самооблученностн ЧЯ (слагаемое при / - /).

Подставляя (6.2) и (6-4) в (6.3), получим следующее выражение.

Pf --e/OTf Si-ril-ei) 2 4>jiPf, -U Л- (6.5)

Уравнеиия (6.5), записанные для каждой из поверхностей, образуют систему N линейных алгебраических уравнений относитель-

N неизвестных эффективных потоков {Pf*}/Lb Представим эту Систему в виде

[1-(р,,(1-8,-)1Р?Ф-(1-е,) I; jtPfeiO,TfSt (б.б)

АРФ= в.

где А - соответствующая матрица размером Л/-Л/; В - вектор-столбец свободных членов, образованный правыми частями уравнений (6.6), которые известны, поскольку температуры Г,- мы считаем заданными; Р* - вектор-столбец неизвестных эффективных потоков.

Коэффициенты матрицы А и вектора В задаются формулами:

ац=\ i = Л.

-(1 -ег) ф ,-ь / = .... Л,

bi = Bi Оо Г* 5;.

(6.7)

Пос- определения эффективных потоков Р.* нетрудно рассчн. ть и зультирующиепотоки Pf- Результирующий поток Pf, е пот"** юлучаемый /-м телом в процессе лучистого теплообмена, явен ррэзности поглощенного потока РТ и собственного потока рС Q учетом (6.2), (6.4) получаем для РТ следующее выражение

Pr-i 2 Фу,Р;ф~f,oor*S,. N. (6.8)

ррсдграммная реализация расчета результирующих лучистых потоков* Таким образом, при определении результирующих теп-10ВЫХ потоков в замкнутой системе серых диффузно излучающих

е д-ФФузным отражением возникают две задачи: первая связана с вычи<-пием коэффициентов ф;,- по заданной геометрии системы, вторая - с решением системы уравнений (6.6) и расчетом по формулам (6-8). .Методы расчета угловых коэффициентов рассмотрим далее в 6.2, 6.3, а сейчас остановимся на задаче решения системы уравнений (6.6).

ПрИ заданных температурах {T/lfLi требуется лишь один раз решите линейную систему (6.6) относительно эффективных потоков Pf*. 3 затем выполнить расчет результирующих потоков Р по форУ-те (6.8). Система линейных алгебраических уравнений (6.6) HleeT матрицу общего вида и может быть решена, например, с испсР-Тьзованием стандартной подпрограммы GELG. рассмотренной в § 1.3.

Ни?ке приведен пример фрагмента программы расчета эффективных и результирующих лучистых потоков в системе N тел. которая оформлена в виде подпрограммы SUBROUTINE RAD (рнс. (6.3). Входн(з1мн параметрами подпрограммы являются коэффициенты черноты е,-, площади поверхностей Si, температуры Г; и угловые коэфф11цнеиты (fj-f, представленные в виде одномерных массивов, а выходными параметрами - массивы результирующих и эффективных потоков.

Поясним подробнее способ записи угловых коэффициентов фi в одномерный массив F. Из свойства взаимности 1301 вытекает, чт*)

Sj = Поэтому нет необходимости задавать оба угловых

коэффициента фу/ и ф,-. так как второй легко рассчитывается по заданным площадям поверхностей. Достаточно ввести верхнюю Треугольную часть двумерного массива угловых коэффициентов, содерй<ащую N {N -\~ 1)/2 элементов:

ПОДПРОГРАШ РАСЧЕТА ЛПЖШ ПОТОКОВ В СИСГЕЧЕ CEPUX ТЕЛ С ДИФФУЗНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ И ОТРАЖЕНИЕМ

iUBROUTINE RAD(N.EPS.S.T,F.PEE.PREZ.A) ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ: И - ЧИСЛО ПОВЕРХНОСТЕЙ

EPS(H) - МАССИВ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЧЕРНОТЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ S(K) - МАССИВ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ Т{Ц) - МАССИВ ТЕМПЕРАТУР ПОВЕРХНОСТЕЙ F(M) - ВЕРХНЯЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ЧАСТЬ МАТРИЦЫ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТСЙ FJI, ЗАПИСАННАЯ ПО СТйЛБЦАМ В МАССИВ ДЛИНОЙ M=N#(N+l)/2 ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: PEF(H) - МАССИВ ЭФФЕКТИВНЫХ ПОТОКОВ >RE2(K) - МАССИВ РЕЗУЛЬТИРИЩИХ ПОТОКСЙ РАБОЧИЙ MACCilB: А(К,К) - МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОтаОСИТЕЛЬИО ЭФФЕКТИВНЫХ ПОТОКОВ DIMENSION EPS{l).S(l).T(I),F(l),PEF(l).PREZ(n,AC8.e)

1. ЗАПИСЬ В МАССИВЫ СОБСТВЕННЫХ ПОТОКОВ DO 1 1=1,К

СВОБОДНЫЕ ЧЛЕНЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Т2-Т(П*Т(1)

PEF( I )=5.67E-8»EPS( n»T2«T2#S( Г) СЛАГАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ПОТОКОВ

1 PREZ(I)=-PEF(I)

2. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦУ СКСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ >V DO 5 1=1,И

DO 5 J=1,H IF(I-J)3,£.4 ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

2 K-I«(I+l)/2 A(I.I)=I,-F(K)»(I-EPS(n) GO TO 5

СЛУЧАЙ I МЕНЬШЕ J

3 K=J»(J-l)/2+I FJ!-F(K)(S(I)/S(J) A{I,J)=-(1.-EPS(I))*FJI GO TO 5

аУЧАЙ I БОЛЬШЕ J

4 K=I*a-l)/2+J FJI=F(K)

A(I,J)=-(1.-EPS(I))»FJI

5 CONTIHUE

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (РЕЗУЛЬТАТ PEF(H) - ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОТОКИ)

CALL GELG(PEF,A,K,1,1.E-7.IER)

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТИРУОЩИХ ПОТОКОВ DO 8 1=1,И

СУММИРОВАНИЕ ПОГЛОЩЕННЬИ ПОТОКОВ DO 6 J=I.N rF(I-J)6.7,7

6 K-J.(J-l)/2+I FJI=F(K)»S(I)/S(J)

Рис. 6,3

54 CO TO 8

55 7 K-I»(l-l)/2tJ Se FJ1=F(K)

57 8 PREZ(1)-PRE2(])+EPS(I)»FJI»PH(J)

56 RCTURN 56 END

Piic. 6,3. Продолжение

В одномерный массив F эта информация записывается но столбцам, т. е. в следующем порядке: срц, Ф12, срзз, cpig, .... cp/v i,/v, фдгдг, при этом нетрудно убедиться, что порядковый номер k элемента в одномерном массиве F, соответствующего коэффициенту (pji, рассчитывается по индексам /, / так: k = i (i - i)/2 + ), где / < i (см. операторы 31, 35, 40). Если нужно найтн коэффициент при / > i, то сначала выбирается коэффициент cpj; из массива F, а затем проводится расчет по формуле ср;; = <ijSi/Sj (оператор 36).

Система уравнений (6.6) решается в подпрограмме с помощью стандартной процедуры GELG. При этом вектор правых частей В, имеющий смысл собственных потоков, записывается в массив PEF, в котором после решения системы (на выходе из GELG) размещается результат решения- вектор эффективных потоков.

Параметры и логическая структура подпрограммы RAD достаточно Подробно пояснены в комментариях к тексту. Для проведения расчетов головная программа, реализующая ввод данных и печать результатов, должнабыть составлена пользователем.

Расчет теплового режима системы тел с лучистым теплообменом. В ряде случаев расчет результирующих потоков излучения ноб-ходнмо проводить в рамках общего анализа теплового режима сис-темь[ тел, при котором задаются мощности источников теплоты, действующих в них, а температуры тел подлежат определению. В главе 1 была приведена одна из возможных постановок такой задачи прн допущении о равномерности температурных полей входящих в систему тел. Система нестационарных уравнений теплового баланса для определения среднеобъемных температур Г,- с учетом лучистого теплообмена имеет вид

dTj dT

1 = 1..... N, (6.9)

де Ofj - тепловые проводимости, учитывающие конвективный и ондуктнвный перенос теплоты; Р, - мощности источников тепло-ы, действующих в телах; (Т, Tn) - результирующие по-ки излучения, зависящие от всех температур и определяемые из •решения системы (6.6) и формул (6.8).

При использовании для численного решения задачи (6.9) какой-либо явной схемы, например схемы Руиге-Кутта, необходимо для