54 55 56 57 56 59 60 6! 62 63

ПЕЧАТЬ РЕЗУ;Ш.ТАТОВ

PRINT e.N.m.FlZT.Z 6 FORMAT ( число АКТОВ ИСПУСЖАНИЯ ИЗЛУЧШ .16/

ПРИЕЛШЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ F12=.F6.4/ • ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ri2T=,F6.V ПОГРЕШНОГТЬ РАСЧеГА =,F6.4) STOP

Рис, 6,8 Прололжиние

сматриваемой ситуации нетрулно методом натянутых нитей 131 получить анатитнческое выражение для Фтг-

-XdY

V{XD-X3)- + yh 1/2(лв" xa), (6.32)

результат расчета, по которому можно сравнить с приближенным значением, найденным путем статистической имитации.

Рассмотрим особенности моделирования углов испускания лучей для задач, решаемых на плоскости. Поток, излучаемый в плоском угле [8, 9 Ч- Л6!, с элементарной площадки dS равен 1301

dO==/cos8dScie. (6.33)

В отличие от выражении (6.24) для излучения в пространственном телесном угле dQ. здесь не рассматривается азимутальный угол \., отсутствует множитель sin 9, а угол 9, отсчитываемый влево и вправо от нормали, изменяется от- я/2 до Поэтому случайное начеиие 9 следует генерировать в интервале I-л 2, Л2[ с плотно-)ятности, пропорциональной cos 9:

cosfi, 81 - /2, 1/21. 91-п/2. nl2].

Интегральная функция распределения имеет вид

- Я/г

i-cos9de=-l-2 2

(sin 8 + 1).

Гогда, исходя из соотношения (6.29), значение 8 рассчитывается иа основе выданного датчиком псевдослучайных чисел значения 2 по формуле (оператор 36):

9=arcsin(2z--1). (6.35)

Значение координаты х случайной точки иа отрезке / вычисляется так (оператор 28):

ХХаЛ{Хв-Х.а)2.

Луч, вышедший из точки (х, 0), попадает на отрезок 2, если выбранное значение угла 9 лежит в интервале (9, 9з) (см. рис. 6.9). Значения этих предельных углов зависят от положения х и могут быть определены но формулам (операторы 30, 31):

9i = arctg \{хс - х)1ус\, % = arctg \{xd -х)1ув].

Если полученное в результате /-го акта испускания луча значение 9 попадаете интервал Ш, 91 (операторы 39, 40), то значение счетчика попаданий N 12 увеличивается на единицу (оператор 41). в противном случае - оно не изменяется. После моделирования N актов испускания рассчитывается оценка углового коэффициента F12 по фор.муле (6.26) (операторы 44, 45), причем для получения результата в виде действительного числа значение N 12 предварительно переводится из переменной целого типа в переменную действительного типа (оператор 44). Запись оператора, реализующего формулу (6.26), в виде Fi2 = NI2/N давала бы значение F12 - 0.

Оценка, полученная статистической имитацией, сравнивается с точным значением фа, рассчитанным по формуле (6.32) (операторы 47-54). Оба результата и погрешность расчета выводятся на печать.

Возникает естественный вопрос, какая процедура, использующая метод Монте-Карло, лучше: статистическое интегрирование, приводящее к формуле (6,22), или статистическая имитация. Применительно к расчету угловых коэффициентов можно привести соображения о некоторых преи.муществах статистического интегрирования. Однако если решать рассматриваемую ниже более общую задачу расчета разрешающего углового коэффициента с учетом зеркальных отражений, то следует отдать предпочтение статистической имитации. 14так, перейдем к анализу лучистого теплообмена при наличии поверхностей с зеркальны.м отражением.

§ 6.4. ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ТЕЛ С ЗЕРКАЛЬНЫМ И ДИФФУЗНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ. РАСЧЕТ РАЗРЕШАЮЩИХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Рассмотрим замкнутую систему ,V серых поверхностей, свойства которых характеризуются коэффициентом поглощения й,- - е,

диффузным ri и зеркальным г\ коэффициентами отражения (8 +

+ri + 1), г = I, ... Л. В такой системе следует учитывать, что часть падающего потока (гсРТ) отражается зеркально по законам геометрической оптики, а часть (гРГ) отражается диффузно по всем направлениям н вместе с собственным потоком образует эффективный диффузный поток Р(* - гРГ*.

Два определения разрешающего углового коэффициента. Для учета зеркальных отражений в системе поверхностей вводят понятие разрешающего углового коэффициента между поверхностями

; н 1. При этом в литературе используют два различных подхода к введению этой величины.

При первом подходе [8, 30] используют введенное выше понятие эффективного диффузного потока, и система уравнений теплового баланса лучистых потоков записывается относительно эффективных диффузных потоков. Выражение для общего потока Р", падающего на (-ю поверхность, записывается в виде

/= I

(6.36)

где разрешающий угловой коэффициент Фд равен доли диффузного потока с /-Й поверхности, которая попадает на i-ю поверхность как непосредственно, так и после всех возможных зеркальных отражений.

При анализе соотношения (6.36) может возникнуть вопрос: «не потеряли» ли мы излучение, которое доходит от /-й поверхности к г-й путем не только непосредственного попадания н после нескольких зеркальных отражений, но и путем ряда чередующихся зеркальных и диффузных отражений. Однако этн опасения напрасны. Как только на какой-то промежуточной поверхности происходит диффузное отражение, соответствующая часть лучистого потока «присоединяется» к диффузному эффективному потоку этой промежуточной поверхности и, таким образом, учитывается в общей сумме (6.36).

Выражение для эффективного диффузного потока Р* с i-н поверхности с учетом (6.36) можно записать следующим образом:

рэф=рс г V Ф;, Pf eiOoTSf + rf V Ф, РФ. (6.37)

Уравнения (6.37) при i = I, Л образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно эффективных диффузных потоков, аналогичную (6.5), но в них вместо ф/; стоят ФJi. а вместо (1 - 6;) участвуют rf. Результирующие потоки излучения рассчитываются по формуле

ррезрпоглрс Фд Р* -0 5,. (6.38)

Очевидно, что разрешающий угловой коэффициент Фу; можно представить следующим образом [301:

Фл Ф; + 2 П j j,.i + S 1 S 1 i-h-n-i +.... (6.39)

Первый член в (6.39) равен угловому коэффициенту между по-рерхрюстями / и i, он характеризует непосредственный, без зеркальных отражений перенос энергии. Вторая сумма учитывает различные варианты переноса энергии путем одного зеркального отражения па промежуточной fe-й поверхности, третья -путем двух зеркальных отражений на поверхностях и д и т. д. Коэффициент <pj-ji-i равен доли потока, излученного поверхностью /, которая, зеркально отразившись от поверхности k при условии г = I, попадает на поверхность i. Аналогичный смысл имеют и остальные коэффициенты в (6.39).

Другой способ введения понятия разрешающего углового коэффициента 112] основан на представлении выражения для общего

Рпад . . I В виде

Здесь в отлнчне от (6.36) коэффициент Ф*/ умножается не на эффективный, а на собственный поток. Поэтому разрешающий угловой коэффициент Ф/1 равен доли потока с /-й поверхности, которая попадает на i-ю поверхность как непосредственно, так и после всех зеркальных и диффузных отражений.

Прн таком подходе нет необходимости решать систему уравнений относительно эффективных потоков, так как можно сразу записать выражение для результирующих потоков Pf через температуры Tj (j = 1, Л):

ррезерпад. рс6. OhjOTfSj-iTtSi. (6.41)

Можно доказать [121, что

И тогда выражение (6.41) примет вид

(6.42)

Таким образом, для расчета лучистого теплообмена в системе тел с зеркально-диффузным отражением требуется вычислить разрешающие угловые коэффициенты Ф или Ф*. Заметим, что если

все поверхности отражают только зеркально {Г(- = О, ~ ] -е,-), тоФя =Ф;.-.

При определении можно либо проводить нх непосредственный расчет, либо предварительно вычислять коэффициенты ср;;, (ру . ц т. д., а затем применять формулу (6.39). Последний способ обычно используется в аналитических методах [8, 30], возможности которых, к сожалению, ограничены довольно узким классом задач Для систем сложной конфигурации коэффициенты ф;,, (fj j. . ф/,.-/; п-г и т.д. можно ВЫЧИСЛЯТЬ путем численного интегрирования в частности статистическим интегрированием. Однако выражения для подынтегральных функций у зеркальных коэффициентов фу й ,-, ... получаются весьма сложными, что делает интегрирование малоэффективным. Сразу записать выражение для разрешающего углового коэффициента в виде какого-то интеграла обычно ие удается. Поэтому для определения разрешающих угловых коэффициентов Фл в системах поверхностей сложной конфигурации наиболее часто прибегают к статистической имитации. Статистическия имитация позволяет проводить непосредственный расчет коэффица-ентов Ф]!, причем при моделировании процесса испускания излучения с данной поверхности для иее одновременно определяются все разрешающие угловые коэффициенты Ф (г" = I, Л).

Определение Ф*( наиболее целесообразно проводить методом статистической имитации.

Описание имитационного эксперимента. Рассмотрим методику проведения имитационного эксперимента применительно к peiпению задачи вычисления коэффициентов Ф*. Этот эксперимент начинается так же, как и в случае определения ф;;, со случайного выбора точки на поверхности Sj и направления распространения «пор- ции» излучения. Далее проводится анализ «судьбы» этой порции в процессе ее движения по системе. Результаты анализа фиксируются путем наращивания содержимых счетчиков попаданий поверхностей, которые в начале эксперимента обнулены. Сначала находится первая поверхность, на которую попадает порция, и содержимое счетчика этой поверхности увеличивается иа единицу. На найденной первой поверхности порция может с вероятностью е поглотиться, с вероятностью диффузно отразиться и с вероятностью зеркально отразиться. Для моделирования дальнейшего продвижения на ЭВМ разыгрывается случайный эксперимент, имеющий трн f хода с вероятностями е, г-, г~. Если выпадает событие, имеющее вероятность появления в, то порция излучения считается поглотившейся иа первой поверхности, ее история на этом заканчивается, а иа поверхности Sj генерируется новая порция. При выпадении двух других событий в случае зеркального отражения направление распространения порции меняется по соответствующему закону теО метрической оптики, а в случае диффузного отражения производится генерация значений полярного и азимутального углов Д-

определения нового случайного иаправленин, как это делалось на исходной поверхности.

Далее повторяется анализ движения отраженной порции излучения по новому направлению распространения из точки пересечения первой поверхности и первого луча, находится вторая поверхность, наращивается содержимое ее счетчика попаданий и реализуется описанная выше для первой поверхности процедура. Таким образом, история порции излучения прослеживается до ее поглощения какой-либо поверхностью. После этого возвращаются к исходной поверхности Sj и проводят генерацию новой порции излучения.

В результате генерации и проведения анализа историй К порций излучения содержимое датчика попадапий любой поверхности зафиксирует число актов попаданий на нее. Поделив число актов попаданий К? для г-й поверхности на общее число порций /С, находят оценку разрешающего углового коэффициента Ф/.

Оценку углового коэффициента Ф/,-, определенного согласно (6.36), можно получить аналогичным путем, но при анализе движения порции излучения после взаимодействия с поверхностью следует учитывать только зеркальные отражения, а в случаях поглощения и диффузного отражения анализ для данной (юрпии прекращается .

Теперь остановимся на важном обстоятельстве. Целью описанного выше имитационного эксперимента являлось определение разрешающих угловых коэффициентов, и поэтому в нем фиксировалось число актов попаданий. Если же ставить целью определение результирующих потоков, то можно фиксировать и акты поглощений. Тогда мощность P?If поглощаемого на поверхности собственного излучения поверхности Sj находится по формуле

(6.43)

где КТ - число актов поглонения на поверхности i. На основе

P]t Д*тя всех поверхностей нетрудно вычислить и результирующие потоки.

в случае, когда поверхности предполагаются диффузно излуча-кмцимн и зеркально-диффузно отражающими, а эффективные потоки равномерно распределенными но поверхностям, фиксация актов поглощений к расчет мощностей Pf не дает выигрыша по сравнению с расчетом разрешающих угловых коэффициентов. Однако ситуация меняется при наличии поверхностей с радиациоиными свойствами, зависящими от направления, или при снятии допущения о равномерности распределения по поверхностям эффективных потоков. В этом случае ие удается использовать понятие разрешающего углового коэффициента и приходится при детерминированном под-Ходе решать систему интегральных уравнений относительно иитеи-сивностей эффективного излучения 18]. Практика показала, что даже