применение численных методов для решения подобных систем наталкивается на значительные трудности. Вмесгес тем метод Монге-Кар-ло позволяет справиться с возникающими сложностями без особых усилий. Например, наличие направленных свойств у коэффициента черноты е учитывается через плотность вероятности распределения по которому случайным образом генерируется угол Э для направления распространения порции излучения. В процессе моделирования фиксируют число актов поглощения, и после его окончан1!я находят потоки по соотношениям (6.43), где в качестве выступает

полусферический интегральный коэффициент черноты, и далее рассчитывают результирующие потоки. Важно отметить, что учет направленных свойств обычно ие [фиводит к значительному усложнению программы, поскольку при расчете реальных систем наиболее громоздкая ее часть связана с анализом перемещения порции излучения между поверхностями. Это позволяет при исследовании различных вариантов приближений для направленных свойств изменять в программах только сравнительно небольшие модули, реализующие генерацию случайных направлений распространения излу-чения-

Таким образом, с помощью статистической имитации можно решать наиболее сложные задачи анализа процессов теплообмена излучением в замкнутых системах поверхностей, разделенных прозрачной средой, и эффективность метода Монте-Карло по сравнению с детерминированными методами резко возрастает с увеличением сложности задачи.

§ 6.$. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В ПОГЛОЩАЮЩИХ, ИЗЛУЧАЮЩИХ И РАССЕИВАЮЩИХ СРЕДАХ

Особенностью математического описания процессов теплообмена в поглопающих, излучающих и рассеивающих средах является наличие уравнения переноса излучения, которое в приближении, ие учитывающем конечность скорости света, имеет вид [18]:

Ivb (T)

(6.44)

----- , (6.45)

clexp (hy/kT) - ]]

где /v (s, Q, t) спектральная интенсивность для направления распространения излучения Й; s - путь, отсчитываемый по направлению Q; (s) - спектральный коэффициент ослабления! Оу (s) - спектральный коэффициент рассеяния; (Т) - спектральная интенсивность излучения черного тела, (s) - спект-

Цльный коэффициент поглощения; р (Й, Й) - индикатриса рас-веяния.

На основе распределения спектральной интенсивности 1 (7. !, т) находится вектор плотности потока излучения:

о 4Я

(/, й. т)йdйdv,

(6.46)

который используется при записи закона сохранения энергии.

В случае неподвижной газовой среды, когда наряду с радиацион-);ым переносом теплоты учитывается и теплопроводность, из закона сохранения энергии вытекает уравнение [18]: дТ

div(A.gradr)-bdivt/; + t/(r, т),

(6.47)

которое необходимо решать совместно с (6.44) и (6.45).

Задачи моделирования процессов теплообмена в поглощающих,, излучающих и рассеивающих средах относятся к одним из наиболее сложных в теории тег1Лообмена [331, Поэтому в этом подразделе мы ограничимся только кратким описанием некоторых распространенных вычислительных подходов к решению важной практической задачи анализа теплообмена излучением в замкнутых системах поверхностей, разделенных излучающим, поглощающим и рассеивающим газом. Эту задачу решают в различных приближениях.

В простейшем варианте поверхности предполагают диффузно излучающими и поглощающими, газ - изотермическим, а процесс рассеяния - отсутствующим. Методика решения такой задачи во многом сходна с рассмотренной выше для диатермнчной среды 18). Огличие в основном заключается в усложнении интегралов для вычисления обобщенных угловых коэффициентов [8], которые можно рассчитывать с помощью методик, описанных в § 6.3.

В более сложной модели допускается иа~тичие у поверхностей зеркальных и направленных свойств, неизотермичность газа и учи-!тьшается рассеяние. Особенностью реализаций такой модели является необходимость совместного решения одномерных или много-=мерных уравнений переноса излучения и сохранения энергии в га-зе (6.44)-(6.47). При решении этих уравнений в зависимости от Характера задачи действуют различными методами.

Особенностью первой группы методов с вычислительной точки зрения можно считать определение из (6.44)-(6.46) точных или приближенных аналитических выражений плотности радиационного теплового потока через температурное поле Т (г, т) [181 и получение на их основе уравнения сохранения энергии (6.47), ь Которое входит только неизвестное распределение температуры

(г, т). Таким образом, задача фактически сводится к решению од-tioro уравнения.

Наибольшее число этих методов разработано для одномерного случая. Здесь часто удается вывести соответствующие точные выражения, включающие интегральные операторы от температурного поля, и получить интегральное или интегроди(}х)еренциальиое уравнение для температурного поля. К такому же результату иногда приводит применение различных приближенных методов решения уравнения переноса (приближений Шустера - Шварцшильда Эддингтона и т.д. [81). Как правило, получающиеся интегральные или интегродифференциальные уравнения решаются численными методами, которые мы в данной книге не рассматриваем. Только в некоторых частных случаях, например прн использовании приближений оптически тонкого слоя - прозрачного газа, излучающей или холодной сред и др., удается получить аналитические решения.

Для многомерного случая широко применяется приближение диффузии излучения [81 (приближение Росселанда, приближение оптически толстого слоя), которое позволяет получить выражение для вектора плотности теплового потока излучения qt вида

4а,)

grad {пТ%

(6.48>

где 0(, - постоянная Стефана - Больцмана; Р/ - средний, по Росселанду, коэффициент ослабления [181; п - показатель преломления.

Постановка соотношения (6.48) в уравнение сохранения энергии (6.47) дает нелинейное уравнение диффузии для температурного поля, методы решения которого были рассмотрены в главе 3.

Другим приближением, которым можно пользоваться и в многомерном случае, является дифференциальное приближение (метод моментов) [8]. Применяя его, иногда удается найти аналитическое решение получающегося в первом приближении метода эллиптического уравнения для специальной функции, позволяющей рассчитать распределение интенсивности.

Методы второй группы орнентнровань[ на непосредственное решение двух уравнений - переноса излучения и сохранения энергии. Поэтому при проведении расчетов используется в том или ином виде итерационный процесс, при котором задается начальное приближение температурного поля, по этому приближению на основе решения уравнения переноса (6.44) вычисляются ноля интенсивности /v и Плотности радиационного теплового потока qf, найденная плотность радиационного теплового потока подставляется в уравнение энергии и определяется новое приближение температурного поля и т. д.

Решение одномерного уравнения переноса проводится либо па основе комбинации упомянутых выше приближенных и численных методов, либо на основе численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся прн введе-

Jhhh дискретизации по направлению распространения и замене интегралов от интенсивности по угловой координате соответствующими квадратурными формулами. В многомерном случае наиболее часто используется численное решение уравнений дифференциального приближения и метод Монте-Карло. Применение последнего наиболее эффективно при необходимости учета переменных радиационных свойств и рассеяння-

По описанной схеме рассчитывают и процессы переноса энергии излучением совместно с теплопроводностью и конвекцией. В этом случае прн проведении итераций после решения уравнения переноса определяют радиационные тепловые потоки для элементарных ячеек разбиения пространственной области и далее, рассматривая их как заданные объемные источники и стоки энергии, решают уравнение сохранения энергии относительно температурного поля рассмотренными в главах 3-5 численными методами.

Более подробно с методами-численного моделирования теплообмена в поглощающих, нзлучаюи;их и рассеивающих средах можно ознакомиться по монографии [331.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Завершая книгу, приведем ряд соображений по постановк н методике преподавания курса «Применение ЭВМ для модели рования процессов теплообмена», которые основаны на опыте преподавания этой дисциплины авторами в Ленинградском институте точной механики и оптнкн (ЛИТМО).

Рассмотренный в книге теоретический материал рассчитан на 30-40 часов аудиторных занятнй. Для получения студентами практических навыков работы с программами, реалнзующн, ми численные решения задач теплообмена, а также умений самостоятельно составить несложную программу, в курсе должны быть предусмотрены лабораторный практикум на ЭВМ и домашние задания.

Проводимые в ЛИТМО лабораторные работы на ЭВМ пред. ставляют собой учебные программы, работающие в диалоговом режиме. Каждая из ннх позволяет решать определенный класс задач теплопроводности, конвективного нли лучистого теплообмена с помощью нескольких различных численных методов. При выполнении лабораторной работы студенты получают индивидуальные задания, различающиеся не только численными значениями параметров, ио и особенностями постановки задачи. Используя готовую программу и работая в диалоговом режиме, студент решает задачу с помощью нескольких численных схем проводит анализ погрешностей численного решения и особенностей применения тех или иных схем.

Домашние задания заключаются в самостоятельном составлении алгоритмов н программ численного решения достаточно простых задач, отладке этих программ н проведении расчетов на ЭВМ. Например, в качестве домашнего задания можно предложить решение одномерной задачи теплопроводности, а необходимый набор вариантов можно обеспечить выбором декартовой, цилиндрической или сферической систем координат, комбинациями граничных условий н различных пространственно-временных и температурных зависимостей коэффициентов уравнений, видом разностной схемы. Прн самостоятельном составлении программ целесообразно использовать рекомендации и практические приемы, разобранные в книге на примере приведенных текстов учебных программ н фрагментов программ.

Разработанный в ЛИТМО лабораторный практикум на ЭВМ включает И работ и охватывает рассмотренный в книге материал, а также некоторые задачи совместного решения уравнений движения и энергии при свободной и вынужденной конвекции. Имеются версии программного обеспечения для персональных ЭВМ типа IBM PC, ЕС-1040, Искра-1030, ДВК-3. а также для СМ ЭВМ и для ЕС ЭВМ. С комплексом лабораторных работ на ЭВМ заинтересованные лица могут ознакомиться на кафедре теплофизики ЛИТМО (197101. Ленинград, ул. Саблинская, И).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. Введение в теорию обратных задач теплообмена. М., 1979,

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. М... 1975.

3. Беляев Н. М.., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности Т. 1, 2. М., ]982.

4. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы, М., 1977.

5. Дульнев Г. Н. Тепло- и массообмен в радиоэлектронной аппаратуре. -М,, 1984.

6. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М., 1983.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., 1975.

8. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением / Пер. с англ. М., 1975.

9. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М,, 1981. 10- Калиткин И. Н. Численные методы. М., 1978,

И. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего ана-ляза. М.. 1962.

12. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М., 1979.

13. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., 1967.

14. Марчук Г. И. Методы вычислительной .математики. М.. 1980.

15. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. Минск, 1980,

16. Никитенко Н. И. Исследование процессов -тепло- и массообмена методом сеток. Киев, 1978.

17. Норенков И. П. Введение в автоматизированное проектирование тех-.нических устройств и систем. М,, 1980.

18. Оцисик М.. Сложный теплообмен. М.. 1976.

19. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.. 1984.

20. Питанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.. 1984.

21. Пейре Р., Тейлор Т. Вычислительные методы в задачах механики жид-:кости. Л., 1986.

22. Ракитский Ю. В. Численные методы решения жестких систем. М., 1979,

23. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., 1980. :24. Самирский А. А, Теория разностных схем. М., 1983.

25, Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.. 197).

26, Самарский А. А. Введение в численные методы. М., 1987.

27, Сегерлинд. Л. Применение метода конечных элементов. М., 1979,

28, Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М., 1973.

29, Современные численные методы решения обыкновенных дифферении-альных уравнений / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М., 1979.

30, Спэрроу Э. М., Сесс Р. Д. Теплообмен излучением. Л.. 1971.

31, Теория тепломассообмена / Под ред. Д, И. Леонтьева, М,, 1979.

32, Форсайт Дж.. Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений, М-. 1980.

33, Четверушкин Б. Н. Математическое .моделирование задач динамики излучающего газа. М,, 1985,