описать конем полное турне или даже только путь в каждом из них. Однако, разделив доску на 4 части, как это показано на рисунке (две части по 12 клеток, а две дру-

гие - по 20), можно получить интересную головоломку. Вам предлагается проделать полное турне на этой доске, начав с любой клетки, но переходя из одного отсека в другой не прежде, чем посетив все клетки данного отсека и сделав последний ход конем в исходную клетку. Это сделать нетрудно, но головоломка окажется весьма занимательной и небесполезной.

Возможно ли турне или полный путь коня на прямоугольной доске заданных размеров, зависит не только от размеров доски, но и от ее формы. Турне, очевидно, невозможно на доске, содержащей нечетное число ячеек, такой, как 5x5 или 7 х 7, и вот почему. Каждый последовательный скачок коня должен совершаться с белой клетки на черную и с черной на белую поочередно. Но если число клеток, или ячеек, нечетно, то число клеток одного цвета на 1 больше числа клеток другого цвета. Следовательно, путь должен начинаться с клетки того цвета, которого больше, и заканчиваться тем же цветом, а поскольку ход конем между клетками одинакового цвета невозможен, то путь не может быть возвратным. Однако правильное турне можно совершить на прямоугольной доске любых размеров, содержащей четное число клеток, если число клеток на одной ее стороне не меньше 6, а на другой - не меньше 5. Другими словами,

наименьшей прямоугольной доской, на которой возможно турне, будет доска 6x5.

Полный путь коня (не возвратный) по всем клеткам доски невозможен на доске, у которой размер одной из сторон равен всего лишь 2 клеткам, а также на квадратной доске меньше 5x5. Так что на доске 4x4 мы не сможем совершить конем ни турне, ни даже полного пути; одну клетку придется оставить непосещенной. И все же на доске 4x3, содержащей на 4 клетки меньше, полный путь удается совершить 16 различными способами. Читатель, быть может, захочет отыскать их сам. Каждый путь, начинающийся или заканчивающийся на других клетках, здесь считается другим решением, так же как и путь, получающийся с помощью поворота.

166. Турне четырех коней. Я повторяю, что если разбить шахматную доску на 4 равных части, как показано на рисунке жирными линиями, то на одной из частей невозможно осуществить турне коня. На рисунке

вы видите лучшую из попыток такого турне, при которой конь дважды вынужден выйти за пределы своего участка. Попробуйте разбить доску на 4 части одинаковых размеров и формы так, чтобы на каждой из них оказалось возможным осуществить турне коня. Разрезы вдоль пунктирных линий не подходят, ибо тогда

4 центральные клетки оказались бы отделены либо просто висели бы на ниточке.

167. Кубическое турне коня. Несколько лет назад я где-то прочитал, что Абни Вандермонд, известный математик, который родился в 1736 г., а умер в 1793 г., большое внимание уделял турне коня. Я не уверен относительно точных результатов его исследований, но один момент привлек мое внимание: он поставил вопрос о турне коня на шести фанях куба, каждая из которых представляет собой шахматную доску. Нашел ли он решение или нет, я не знаю, но я нигде не встречал опубликованного решения, а поэтому сразу же сел за изучение этой интересной задачи. Может быть, читатель захочет ею заняться?

168. Четыре лягушки. На рисунке показано восемь грибков, на 1-м и 3-м из них сидят белые лягушки, а на

6-м и 8-й - черные. Головоломка состоит в том, чтобы, передвигая за один раз по одной лягушке в любом порядке вдоль прямых линий от одного грибка до другого, поменять лягушек местами, то есть черные лягушки должны занять грибки 1 п 3, а белые - 6 и 8. Воспользовавшись четырьмя шашками и приведенной схемой, вы найдете эту задачу совсем простой, но несколько труднее будет сделать это за 7 перемещений, где любое число последовательных ходов одной лягушки считается одним перемещением. Разумеется, на одном грибке одновременно может сидеть лишь одна лягушка,