разца одного рисунка и только по три изразца каждого другого рисунка.

44. Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бугылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бугылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине - J пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались пинты вина, а в кувшине - 1 пинта воды, смешанная с Д пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась Д содержимого кувшина, то есть одной пинты воды, смешанной с У одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены у, четверти пинты (то есть пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (У пинты) воды.

45. В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт

9801

вина; после второго раза его оставалось -Jqq- (квадрат

99, деленный на 100); после третьего раза в бочонке ос-970 299

тавалось (куб 99, деленный на квадрат 100);

после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99,

деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числа на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73, 97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.

С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило

26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999

ПИНТЫ. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания.

46. Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат 776 х 776. После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 х 73) человек в каждом. Другими словами, ИЗ х (73)- 1 = = (776)2. Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

47. Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее: 1 111 111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда рещение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 х X 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239 (см. введение).

В общем случае данная задача состоит в нахождении

10" -1

делителей (если они имеются) чисел вида ---. 254

Люка в своей книге «Занимательная арифметика» приводит несколько удивительных таблиц, которые он позаимствовал из арифметического трактата под названием «Талкис», принадлежащего арабскому математику и астроному Ибн Албанна, жившему в первой половине XIII века. В Парижской национальной библиотеке имеется несколько манускриптов, посвященных «Талкис», и комментарий Алкаласади, который умер в 1486 г. Среди таблиц, приведенных Люка, есть одна, где перечислены все делители чисел указанного вида вплоть до л = 18. Кажется почти невероятным, что арабы того времени могли найти делители при я = 17, приведенные во введении к настоящей книге. Но Люка утверждает, что они имеются в «Талкис», хотя выдающийся математик читает их по-другому, и мне кажется, что их открыл сам Люка. Это, разумеется, можно было бы проверить, обратившись непосредственно к «Талкис», но во время войны сделать это оказалось невозможно.

Трудности возникают исключительно в тех случаях, когда я - простое число. При я = 2 мы получаем простое число 11. Для и = 3, 5, 11 и 13 делители соответственно равны (3 X 37), (41 х 271), (21 649 х 513 239) и (53 X 79 X 265 371 653). В этой книге я привел уже делители для я = 7 и 17. Делители в случаях я = 19, 23 и 37 неизвестны, если они вообще имеются. При я = 29 делителями будут (3191 х 16 763 х 43 037 х 62 003 х 77 843 х X 839 397); при и = 31 одним из делителей будет 2791; при л = 41 два делителя имеют вид (83 х 1231).

Что же касается четных л, то следующая любопытная последовательность сомножителей, несомненно, заинтересует читателя. Числа в скобках - простые.

о. Хопп сообщил мне, что его исследования случая л = 19 позволяют утверждать, что соответствующее число - простое. Он представил свое доказательство в Лондонское математическое общество, и специально назначенная комиссия признала доказательство верным и окончательным (Proceedings of Lond. Math. Soc. от 14 февраля 1918 г.).