Пример. Для у\ = 1; «/2=4; уз=5; 1/4=4; 1/5=3; Уб=3,5; .у7=3,5; i/e=3; 1/9= 1; 1/10=0,5; 1/11 = 0,2 и 1/12 = 0 получим Ci = 1,34 И 8572; а=0,5484827557; аз = - 0,6166666667; С4 = - 0,1732050808; 05 = 0,04214761383; fco=2,391666667; 61 = 1,556655773; 62 = - 0,733333333; 63= -0,1666666667; 64= -0.01666666667; 65 = - 0,02667755999; бе=0,1083333333. Отметим, что в отличие от введенных в § 5.1 обозначений здесь использованы обратные (а, обозначено как й,-, а 6, как а,), что связано с применением ряда Фурье, у которого члены ряда - синусы, а не косинусы.

Последовательный спектральный анализ кусочно-линейных функций с разрывами обеспечивает точное вычисление спектров функций, которые могут быть синтезированы из треугольников, прямоугольников и трапеций. При этом каждый отсчет у, задается моментом времени ti и двумя значениями: У/ (ti-Q) слева и у, (<,+0) справа, где О понимается как бесконечно малое приращение и. Если yi {ti-0)=yi (/,+0), то в точке и зависимость у (/,) не имеет разрыва. Если имеется разрыв, он задается соответствующими значениями функции до и после разрыва. Например, прямоугольный импульс единичной амплитуды задается значениями

h, I/, (Л-0)=0, 1/1 (fl-fO)=l, к, 1/2 (<2-

- 0)=1 и 1/2 (<2-f 0) =0. Нумерация отсчетов i далее идет с 1, число отсчетов у {t) равно n. Отсчеты могут идти с произвольным расположением точек u на оси времени.

На произвольном участке [u-1, u] функция у (t) аппроксимируется прямой, уравнение которой

y(t)-yi~y t-ti\ yi-yi-i ti-ti-i

Следовательно, взяв отсчеты с соответствующей стороны, получим для у (t) в ин-

тервале (<, -]-0, ti-Q) следующее выражение:

(0 =

У (<,-.-fO)-

i/(f,-0)-i/(f,-i-fO)

ti-ti-,

l/(<.-0)-!/(<<-+0)

Подставляя это. выражение в (5.11) и (5.12), получим (x = nfkAt):

г. Со 1

Y[y (г.-1+0)+г/ (<.-0)!.

-у (ti-i+G) sin (2х- (/-l))i-

-у (fi-i+O)) sin (X (2i-l))l,

TnL (<.-i+0) cos (2x (i-1))-

-y (/,.-0) cos {2xi)\+ lyit,-0)-

-y (i-i+O)) cos (X (Й-1))1.

Алгоритм последовательного спектрального анализа для данного случая подобен описанному в § 5.1.

Программа 5.8.

10 PRIHTПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ

20 PRIHT ФУНКЦИИ,ЗАДАННОЙ Н ОТСЧЕТАМИ,НАЧИНАЯ С 1=0

30 PRIHT С ПРОИЗВОЛЬНЫМ РАСПОЛОИЕНИЕИ ОТСЧЕТОВ

48 INPUTВВЕДИТЕ ОБШУ» ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ВРЕМЕННОГО ИНТЕРВАЛА Т=Т

58 1НРиТЗАДАйТЕ ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ N=HsliIM CKN),Yil/N)

68 FOR 1=1 TO N:PRINT!3.0!ВВЕДИТЕ Tl-IMNPUT U<I>

70 ШРиТВВЕДИТЕ ЗНАЧЕНИЯ У<:Т-8>» V<T+8> V<8, I),V<bI>!NEXT I

98 ШРиТВВЕДИТЕ ЧАСТОТУ F=F! IF F>8 GOTO 158

180 LET A=8: FOR 1=2 TO H

118 LET A=A+<g<I)-M<I-l))iii<V<lfI-l>+V<:8f 0><2жТ>!НЕХТ I

120 PR INT !F 1.9!ПОСТОЯННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ М<;8>=AsLETS=T!«ABS<A>

138 PRIHTСПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ S<:8)=S! GOTO 98

158 LET A=8!LET 8=8:LET R=0!LET X8=#Pl!«Fi«T!F0R 1=2 TO N

168 LET Х1=2ж#Р1жржи<1-1>! LET Х2=2ж#Р1жРжи<1)

178 LET ХЗ=<У<8,1>-У<Ы-1)>/<Х2-Х1>

175 LET D=F!«U<I-1)!IF D-INTCIlXl.E-S THEN LETX1=8

188 LET D=Fi«U<I>!. IF Ii-INT<D)<l.E-5 THEN LETX2=e

185 LETS1=SIN<X1>s LETS2=SIN<X2)s LETC1=C0S<X1> s LETC2=C0S<X2>

198 LET А=А+<ХЗж<С2-С1)+У<0г.1)ж82-У<1».1-1>*31)/Х0

288 LET В=В+<ХЗж<32-31)-У<8П)жС2+УС1И-1>жС1>/Х8

218 NEXT Is LET 6=вОР<АжА+ВжВ>: IF G=8 GOTO 238

215 LET Z=A/-G! IF ABS<Z><1.E-11 THEN LET Z=8

228 LET R=-ACS<Z>! IF B<0 THEN LET R=-R

238 PRINT!F1.9! АМПЛИТУДА M<F)=G

240 PRINT СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ 3<Р>=бжТ/2

258 PRINT ФАЗА В ГРАДУСАХ a<F>=IiE8<R)!G0T0 98!ENIi

Пример. Для примера к программе 5.1 (вычисление спектра прямоугольного импульса) вводим Г = 4-10- с, N = 32. ti = Q, F(t-0}=0, F(t+Q) = l, t2=l-\Q- с, F{t - G) = l, F{t + 0}=0. /=250000. Получим G (0) =0.25. S (0) = 1 • 10- .G if) = = 0,4501581581, S (f) =9,003163162-10" и Ф (f) = -45° (эти значения совпадают с точными). В этой программе нумерация отсчетов i идет с1,у (О =f (Г), М (П =G (f), S(f)S{F) и ф(ПФ(£).

Параллельный спектральный анализ кусочно-линейной функции с разрывами основан на применении описанной выше методики при одновременном вычислении рядов fit,

Программа 5.9.

А (f) =АЬ if) +А% (/)", а ФЧХ ф(П = = -arctg И5 (f)/c(f)]. Здесь а(t)-производная ПХ fi (0. а (0) значение а (t) при 1 = 0.

Численный метод расчета АЧХ и ФЧХ по ПХ базируется на кусочно-линейной аппроксимации а (/) в интервале между ее отсчетами у,. Тогда

а it)

Аа(0

При этом а {t) представляется ступенчатой линией, смещенной иа~-Д</2, что создает значительные погрешности в вычислении ФЧХ. Сместив эту линию на - Д 2, можно значительно уменьшить эти погрешности. Далее,

18 РР1НТПЙРйЛЯЕЯЬНЫй СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ 28 PRINTИНТЕРПОЛЯЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ С РАЗРЫВАМИ ПРИ 38 PRINT ПРОИЗВОЛЬНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ ОТСЧЕТОВ

40 PRINT"

50 ШРИТЗАДАЙТЕ КРАТНОСТЬ ЧАСТОТ M=M!IiIM A<M>i.E<M>

60 INPUTЗАДАЙТЕ ЧАСТОТУ F=F

78 FOR К=0 ТО M:LETA«)=0sLETB«)=0:NEXT К

88 ЬЕТХ=2ж#Р1жР:1ЫРиТЗАДАйТЕ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ВСЕГО ИНТЕРВАЛА Т=Т

90 LETZ=X*T/2: INPUTЗАДАЙТЕ ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ N=N

100 INPUTВВЕДИТЕ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ Т 0=Т0

118 INPUTВВЕДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ F<T 0+0>=V0

120 FOR 1=1 ТО N-lSPRINTВВЕДИТЕ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ Т!3.0!1

130 INPUT Т1! INPUTВВЕДИТЕ ЗНАЧЕНИЯ F<T-0>i.F<T+0) VlrV2

148 LETV=V1-V0SFOR К=1 ТО М!ЬЕТХ0=ХжКжТ0!ЬЕТХ1=ХжКжТ1

150 LETX2=V/<Xl-X0):LETD=Zi«K!LETS0=SIN<X0>

160 LETS1=SIN<X1)!LETC0=COS<X0>!LETC1=COS<X1>

170 ЬЕТА<К>=А<К) + <У1ж81-У0ж30+Х2жа1-С0>>/11

188 ЬЕТВ<К)=В<к:>+<У0жС0-У1жС1+Х2ж«1-30>)/11!НЕХТ К

190 LETA<:0)=A<0)+<Tl-T0>iii<V0-i-Vl>/2/T!LETV0=V2

200 LETT0=T1!NEXT IsLETE=0

210 PRINT К МОДУЛЬ М<К) СПЕКТР.ПЛ0ТН.5<К> ФАЗА 0<ГРАД)

220 PRINT!3.0!0i !F1.5!A<8>; А<8)жТ

230 LETE=0:FOR К=1 ТО М!ЬЕТ8=ЗаР<А<К>жА<К>+Е<К)жВ<К>>

235 IF К=1 THEN LETG1=G

240 LETE=E-bGi«G:LETe=0slF 0=8 THEN 260

250 LETQ=-ACS<A<K)/G>!IF B<K><0 THEN LETa=-a

260 PRINT !3.e!K; !F1.5!Gi бжТ/2; DEG<Q>!HEXT К

265 PR INTКОЭФФИЦИЕНТ ГАРМОНИК КГ=SaR<E-Gli«Gl Jz-Gl

270 PRINT: INPUTВВЕДИТЕ ВРЕМЯ TX=U:LETV=A<0>:LETP=X!«U

280 FOR K=l TO M:LETF=W!SiK:LETV=V+A<K>iiiCOS<W>+B<K>*SIN<W>:NEXT К

298 PRINTЗНАЧЕНИЕ V<tX>=V:GOTO 270!END

Эту программу можно проверить по примеру, приведенному к программам 5.1 и 5.2. Программа 5.9 обеспечивает одновременно и тригонометрическую интерполяцию, т. е. вычисление у (О для любого заданного t с помощью гармонического синтеза.

Расчет амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик линейной системы по ее переходной характеристике (ПХ) а (t) является одним из важных практических приложений спектрального анализа. Он основан на следующей связи этих характеристик:

А (/ш) =а (0) +Ас (<й) +Ms (ш).

г"

где Aq (<й) =] fi (t) cos bit dt, Л5 (<й) = о

=\a {t\,s\n(iitdt, причем АЧХ (f = to/2n) о

применяя для вычисления Aq (<й) и Л5 (<й) метод численного интегрирования с поправочными коэффициентами (см. § 5.1), получим [9, 10]:

Ас(П =

sin Ш М) V = nfM L ~ > (2 -1)),

As (f) =

=:ШУ. («,.-a,. Osin (л/ДМ2/-1)). щ д/ i-

По вводимым отсчетам ПХ а, = а (<,) находим Aq (ш). As (<й) для. заданных ) и Д после чего находим точки АЧХ А (f) и ФЧХ Ф(П-

05 PRINT-ВЫЧИСЛЕНИЕ ЙЧХ И ФЧХ ПО ПХ

10 INPUT ЧИСЛО ОТСЧЕТОВ ПХ М=М

20 INPUT ft=X! LETM=M-l: DIM ft<M)

30 FOR 1=1 TO M! INPUT ft=V

40 LETfta.)=V-X! LETX=V

58 NEXT I! INPUT ШАГ T=T

68 LETC=8! LETS=8

78 INPUT ЧАСТОТА F=F

75 иЕТР=<#Р1>жРжТ

88 FOR 1=1 TO M

90 ЬЕТС=А<1>жС03<Рж<2ж1-1>)+С

108 1£Т5=А<Пж31И<:Рж<2*1-1)>+5!НЕХТ I

118 LETC1=C*SIN<P>/P! LET31=Si«SIN<P>/P

128 PRINTКОЭФ. ПЕРЕДАЧИ ФАЗОВЫЙ УГОЛ

138 PRINT !2.3! 3G!R<:C1"2+Sl"2>fDEG<-ATN<S/C))

148 GOTO 68! END

Пример. Для ai = 0,05; 02 = 0,4; 03 = = 0,75; 04=1; 05=1,16; Об = 1,2; 07=l,16; 08=1,08; 09=1,02; Oi„=l,0 и Д; = 0,1 получим /4 (2)=0,2367203833, Ф(2)=

= -160,4352421°.

Метод Берга служит для расчета спектра усеченных косинусоид, получаемых при воздействии X (О =хм cos -f Хп, действующем на входе системы с передаточной характеристикой y = f (х), аппроксимированной двумя отрезками прямых:

у {х) =0 при хх„, y{x)=Sx при а:> хо,

где S - крутизна передаточной характеристики. При этом косинусоидальный импульс характеризуется амплитудой и углом отсечки

0 = arccos [(xo-Xn}/xf\.

Метод Берга сводится к расчетам по формулам

<ч=Уа/Ум= (sin G -G cos 6)/я (I -cos G), "=Ум I/Ум = (G - sin G cos G) /л (1 - cos G),

Умк 2 sin feG cos 0 -fe cos feG sin G ""m fe (fe-l) (1-cosG)

Программа 5.11.

Пример. Для заданной амплитуды хд, = Л = 10, сдвига Xo = F = 0 и порога xo = = Х0=0 получим угол G = Q = 90°, ао = =/10 = 0,3183098862, а, =Л 1=0,5 и К2 = = Л2 = 0,2122065908.-

§ 5.3. Статистический анализ и подготовка гистрограмм

Одномерный массив из N некоторых цифровых данных Xi характеризуется совокупностью статистических характеристик (одномерная статистика), перечисленных ниже.

Начальные моменты fe-ro порядка

Обычно fe = l, 2, 3 и 4 (точность вычисления гпк при fe> 4 низкая).

Центральные моменты к-го порядка

Мк (x-)=-J [х-,-от, (х)]. 1=1

Момент М] (а:)=0.

10 PRIHTPAC4ET КОЭФФИЦИЕНТОВ БЕРГА 20 PRINTВВЕДИТЕ КОД n

30 PRINT ЕСЛИ УГОЛ ОТСЕЧКИ НЕ ЗАДАЕТСЯ 40 IWUT If ЕСЛИ УГОЛ ОТСЕЧКИ ЗАДАЕТСЯ n=n 50 IF Н=0 GOTO 80 60 IF N=1 GOTO 125

78 PRINTКОД НАБРАН НЕВЕРНОsGOTO 15

80 I №UTЗАДАЙТЕ АМПЛИТУДУ A=A

90 I №UTЗАДАЙТЕ ПОСТОЯННЫЙ СДВИГ F=F

188 INPUTЗАДАЙТЕ ПОРОГ X8=X

110 LETQ=ACS<<X-F>/A>

128 PRINT!F1.9!УГОЛ ОТСЕЧКИ В ГРАДУСАХ a=I€G<G!>!GOTO 138 125 INPUTBBEAHTE УГОЛ ОТСЕЧКИ В ГРАДУСАХ e!=G!!leta=RAD<a) 138 иЕТУ0=<В1НШ)-ажСО5Ш) >/<#Р1ж< l-COS<a) ) > 148 PRINTКОЭФФИЦИЕНТ A8=V0

158 letvi=<:e-sin<e>s«cos<a>v<#pi*a~cos<:G!>>>

160 PRINTКОЭФФИЦИЕНТ A1=V1

170 ШРиТЗАДАйТЕ НОМЕР ВЫСШЕЙ ГАРМОНИКИ К>2 К=К 180 1£ТУ=2ж<8Ш<КжО)жС05<е)-КжС08<Кже)ж31Н<а)) 190 LETV=V/<#PIi«Ki«<: <К"2)-1 >ш< l-COSQ) » 200 PRINT!2.0!КОЭФФИЦИЕНТ АК=!1.9!V!60T0 178SEND