Связь центральных моментов с начальными устанавливается соотношениями (аргумент X в скобках опускаем)

AJ2=m2-mi Л{з=тз-3/п1ш2+2т,

м4=т< - 4штз+6m?m2 - Зт*,

которые позволяют вычислять Mi, по мере ввода Xi (без запоминания массива xi). Среднее значение

вытянут правый, а при Л<0 - левый участок спада кривой Я (х).

коэффициент эксцесса

- J (Xi-i) =

AU Ml

есть наиболее вероятное значение числа в массиве.

Дисперсия смещенная

характеризует степень остроты пика кривой Р (лг) в сравнении с Р (х) для нормального распределения. Если Е> О, Р {х) имеет более острый пик, чем при нормальном распределении, если £<0-пик менее острый. Вспомогательные коэффициенты

«4 = 1/4:

6 (n-l)

(A/+l)(/V+3) •

/ 24(УУ-2

V (/v-i)M/v-i-

-2) (/V-3) 3) (/V+5)

является наиболее вероятной степенью отклонения Xi от среднего значения лг.

Стандартное отклонение смещенное а=-ylD определяет среднеквадр-атичную погрешность Xi, если за точное значение принять х.

Дисперсия несмещенная

D„=/M2/V/(yV-l)=- {Xi-x)"

применяется при статистической обработке чисел Xi с нормальным распределением.

Стандартное отклонение несмещенное оо=

служат для приближенной проверки гипотезы о нормальном распределении лг;. Если

Л<а:,/(2-=-3) и £< 04/(24-3).

то распределение Р (х) для массива xi можно считать нормальным.

При программировании вычислений одномерной статистики желательно предусмотреть следующие возможности: 1) накопление сумм xf; 2) возможность исключения ошибочно введенного числа х,; 3) подсчет Л в ходе ввода Xii 4) выдачу статистических характеристик в любой момент (до окончания ввода всех Xi). Все это обеспечивает приведенная ниже программа.

Программа 5.12.

18 PRINTСТЙТИСТИЧЕСКЙЯ ОБРАБОТКА МАССИВА ЧИСЕЛ KI

28 PRINTИНСТРУКЦИЯ! ДЛЯ ИСКЛЮЧЕНИЯ ОШИБОЧНО ВВЕДЕННОГО

38 PRINTЧИСЛА НАЙМИТЕ КЛАВИШУ СБР И ДАЙТЕ КОМАНДУ GOTO 88

48 PRINTДЛЯ ВЫВОДА РЕЗУЛЬТАТОВ НАЙМИТЕ КЛАВИШУ СБР И

58 PRINTДАЙТЕ КОМАНДУ GOTO 188

55 LETA=8!LETBe! LETC=e!LETri=8:LETl=e

68 РР1НТ!4.е!ВЕЕДИТЕ Xl+lslNPUT X!LETI=I+1

78 LETA=A+X! ЬЕТВ=В+ХжХ! ЬЕТЫ=ХжХжХ! LETC=C+W! LETIi=ri+W*X! GOTO 68 88 LET 1=1 -1! LETA=ft-X! LETB=B-X!«x5 LETW=X»X»X : LETC=C-W 98 LETIi=D-W*X!GOTO 68

lee LETMl=A/I:LETM2=B/l!LETM3=Cxl!LETM4=D>l

110 LETIil=M2-Mli«Ml:LETD2=Dl!t!l/<I-l)

128 1ЕТК=МЗ-ЗжМ1жМ2+2жМ1*М1жМ1

130 1ЕТЫ=М1ЖМ1! LETL=M4-4i«Ml!«M3+6*WiliM2-3i«W*W

140 LETAl=K/Ill"1.5:LETE=L/Dl/ril-3

150 LETU3=SQR(6*<I-l)/(I+l)/-<I+3>>

168 1ХТи4=80рС24!«1ж<1-2)ж<1-3)/а+3)/<1+5)/-<1-1>"2)

170 PRIHT!F1.9!СРЕДНЕЕ Ml=Ml!PRINTДИСПЕРСИЯ D=Iil

iSQ PR I NTДИСПЕРСИЯ Ii8=Ii2!PRINTACHMMETPMfl A=A1

198 PRINTЭKCЦECC E=E!PRINTЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ МЗ=К

200 PRINTЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ M4=L!PRINTВВЕДЕНО ЧИСЕЛ N=14.011

210 PRINT!F1.9!КОЭФФИЦИЕНТ U3=U3

220 PRINTКОЭФФИЦИЕНТ U4=U4:G0T0 68:END

Коэффициент асимметрии

л. "

характеризует скошенность графической функции плотности распределения вероятностей Я (х). При /4=0 она симметрична, при Л> О

Пример. Допустим, надо найти статистические параметры массива из 10 чисел Xi: 9. 8, 10, 9, И, 12, 10, 10, 9 41 11. Пустив программу командой RUN, вводим числа Xi. Прн этом индицируется номер i. Если какое-то число введено ошибочно, достаточно нажать клавишу СБР и дать команду GOTO 80 (фиксируется нажатием клавиши ПС). По

окончании ввода всех чисел (или их части) нажимается клавиша СБР и дается команда GOTO 1(Ю. Для указанных выше чисел получаем: среднее mi =9,9; дисперсия £) = = 1,29; дисперсия Do = 1,433333333; Л = = 1,965657837-10-; £=-7,539210384- Ю"; Л1:) = 0,288: /и4 = 3,7377; N=\0 (число введенных чисел); (/з=0,6145098678 и (/4 = =0,9224435941. Сразу после получения результатов можно продолжить ввод последующих Xi.

Среднее геометрическое для Л чисел xi определяется как

Gm=(x,-X2- ... -х}/".

Гармоническое среднее

HM=N/(xr+xf>+ ... +х>).

Программа 5.13.

шинстве случаев отрезки [di, di], [ds, da] и т. д. имеют одинаковую ширину

C = Ax={Xm-Xo)/N, (5.22)

где Xf - максимальное значение Xi, хс - минимальное значение Xi, N - число интервалов. Тогда алгоритм ускоренной подготовки данных для построения гистограмм будет следующий.

1. Вводим Xf/i, Хо и N.

2. Определяем массив счетчиков А {N), вычисляем С по формуле (5.22) и полагаем /=1.

3. Организуем ввод xi, вычисление I 1+ + 1 (формирование текущего номера / каждого xi) и вычисление вспомогательной переменной

l=int (СХ(А-.-хо)).

le PRIHTВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО С-.М

ге PRINT- И ГАРМОНИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО НМ

30 PRINT-ИНСТРУКЦИЯ! ДЛЯ ВЫВОДА РЕЗУЛЬТАТОВ ЗАДАЙТЕ

40 PRINT ПОСЛЕ ВВОДА ПОСЛЕДНЕГО KI НУЛЬ

50 LETi=e:LETS=e5LETR=l

60 PRINTBBEflHTE X!4.0!l+is INPUT IF =0 60T0 SO

70 LETR=Ri«K.LET,S=S+l/X;LETl=I+ls&dTO 60

88 LET&=R-<1/I>!PRINT!F1.9!СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ &М=6

98 LETH=I/-3Ji PRINTСРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ HM=HsENB

Пример. Для вычисления Сд и Hj по этой программе после ввода последнего числа А-д; нужно ввести 0. Например, для пяти чисел 2; 3,5; 6,1; 1,2 и 3,9 получим Од1 = 2,88492645 и =2,45171074.

Гистограмма распределения характеризует количество чисел л:,, попадающих в интервалы изменения х с границами do, di, d,... ..., dfj. Гистограмма распределения графически строится в виде столбцов, высота которых соответствует количеству л:,, попавших в интервал изменения х, на который опирается столбик (на горизонтальной оси х).

Гистограмма интегрального распределения характеризует количество чисел, попадающих в интервалы ( -oo.di), (-00,2), ...

(- ОО.Йд,).

Значение Y указывает на номер того отрезка, в который попадает заданное значение X,.

4. Вычисляем А (Y)А (Y)(т. е. вносим 1 в содержимое счетчика А (Y)) и возвращаемся к п. 3.

5. Вывод данных для построения гистограмм организуем с помощью цикла с управляющей переменной У, меняющейся от значения \ яо N с шагом 1. Числа попадания х, в У-й отрезок получаем выводом значений А (/). Для получения данных для построения гистограммы интегрального распределения вычисляем 5-<-5-4-Л (У) при начальном 5 = 0.

Программа 5.14.

18 РЕМПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММ МАССИВА ft1Л X

15 PRINTДЛЯ ВЫВОДА РЕЗУЛЬТАТОВ ПОСЛЕ ВВОДА XI HftWATb

20 PR IW КЛАВИШУ СБР И ДАТЬ КОМАНДУ 6GT0 188

30 ТНРиТВВЕДИТЕ Х8=Х0!INPUTBBEAHTE ХК=Х1

48 IHPUTВВЕДИТЕ ЧИСЛО ИНТЕРВАЛОВ ГИСТОГРАММЫ.H=N

58 DIM A<N):LETI=1!LETC=<X1-X8)/N

78 PRINT!4.8!ВВЕДИТЕ X<I>=sINPUT X

88 LETI=I+l!LETV=INT<Ci«<X-X8>>

98 LETA<V)=A<V>+l!GOTO 78

180 LETS=8!F0R J=e TO N-l!LETS=S-»-A<J>

118 PRINT!4.0!flflfl J=J NJ=A<J> SJ=S

128 NEXT JsPRIHTBBEAEHOI-lHHCEflsGOTO 70SEND

Алгоритмы подготовки гистограмм. Простейший алгоритм подготовки гистограмм заключается в сравнении Xi с сеткой границ d\, di.....df с помощью операций условных переходов и подсчете числа попаданий Xi в каждый интервал. Однако программа при большом числе интервалов получается громоздкой, а главное, большим получается время обработки каждого.л:,-. В боль-

Пример. После ввода всех л:,-, для вывода данных к построению гистограмм следует нажать клавишу СБР пульта дисплея и дать команду GOTO 100. Для а:о = 5, хд1=10, N = 5 4 А-, = 6,2; 7,1; 9,6; 8,3; 7,4; 8,1; 6,7; 5,5; 7,2; 7,6;. 7,9; 9,7; 8,5; 6,8 и 8,4 получим следующие результаты, которые могут в дальнейшем использоваться для графического представления гистограмм:

J=0 NJ = 1 SJ=1

J = l NJ=3 SJ=4

J=2 NJ=5 SJ = 9

J=3 NJ=4 SJ=13

J=4 NJ=2 SJ=15

Статистические расчеты на специализированных ПЭВМ обычно выполняются микропрограммно. Так, вычисление статистических параметров для xi=55, 54, 51, 55, 53, 54 и 52 на ПЭВМ FX=702P проводится в следующем порядке.

1. Нажав клавиши Fx и SAC (статистика, общее стирание), обнуляем накапливающие регистры.

2. Вводим Xi набором каждого числа и нажатием клавиши STAT (статистика). Если набранное (но ие обработанное) число ошибочно, его исключают нажатием клавиш АС (полный сброс числа) или С (сброс последней цифры). Если ошибочно введенное число обработано (была нажата клавиша STAT), оио исключается нажатием клавиш F\ и DEL/STAT.

3. Результаты вычислений получаем набором операторов, выполнение которых фиксируется нажатием клавиши ЕХЕ:

Далее, вводя соответствующие операторы (см. выше), получим

MX ЕХЕ Fl SDX ЕХЕ fl SDXN ЕХЕ

137.7142857 18,42898069 18,2968716

(среднее х)

(о) (оо)

Описанные операторы могут использоваться и в программах, что упрощает их построение при более сложных статистических расчетах, например, если надо вычислять, также коэффициенты асимметрии и эксцесса. Микропрограммная реализация значительной части статистических расчетов существенно повышает скорость статистических вычислений и уменьшает вероятность ошибок.

§5.4. Реализация метода Мон I е - Карло

Метод Монте-Карло заключается в использовании случайных чисел для моделирования различных объектов, ситуаций и физических явлений, реализации игр (подобных игре в карты) и др.

Оператор

Результат

Наименование результата

SDXN

8 427 22805 53.375 1.407885953 1.316956719

Количество чисел N Сумма чисел % Сумма Xi Среднее х

Стандартное отклонение Оо Стандартное отклонение а

Возможна обработка групп чисел, например:

Номер группы Число

Количество чисел в группе

В этом случае вводятся число, затем знак m и количество чисел в группе. Например, для ввода и обработки первой группы вводим команды

1 2 3 4 5 ПО 130 150 170 190 10 31 24 2 3

ПО [Г! 10 ISTATI

С помощью команды Fi ASTAT/STAT можно (после ввода всех групп) обеспечить выдачу в автоматическом режиме следующих данных .(пример для приведенной совокупности чисел):

(общее количество чисел) (сумма Xi) (сумма 1/, = 0) (сумма Xi) (сумма .i/? = 0) (сумма x,yi=0)

В этом режиме выдаются также параметры массива у,,, элементы которого не вводились (поэтому значения SY, SY2 и SXY нулевые).

CNT=i=70 SX =9640 SY =0 SX2= 1351000 SY2=0 SXY=0

Равномерно-распределенные случайные числа обычно генерируются ЭВМ в отрезке значений [0; 1], причем любое значение Vi в этом интервале равновероятно. Обычно для этого используется отделение дробной части от сложного арифметического выражения, содержащего предшествующее число V,. Например, может использоваться соотношение вида

V,-n = FRAC {kVi).

где fe=8<±3 и t - нечетное целое число (при < = 5 fe = 37 или /г = 43). Обычно перед использованием датчика случайных чисел задается начальное значение Vo на отрезке [0; +1J. Задание разных Vo позволяет формировать различные последовательности случайных чисел. В действительности получаются «квазислучайные» числа, т. е. спустя некоторое количество циклов последовательности чисел повторяются. Количество неповторяющихся чисел находится в пределах от нескольких тысяч до сотен тысяч.

Перевод равномерно-распределенных случайных чисел на отрезке [а, Ь] производится с помощью формулы

X, + i=a-f (й-а) 1, + ,.

Случайные числа с различными законами распределения получают с помощью формул преобразования (см. [10, 38]).