§ 7.8. Расчеты в механике и термодинамике

Рассмотрим некоторые примеры расчета параметров движущихся тел [21 j. При частично упругом соударении (центральном лобовой}) двух тел с массами т, и та и скоростями vi и скорости после соударения

mtVi + m2V2-{V1 - V2) niik

v2--

m\ + m2 m]Vi+m2V2+(V. - Vi) m\k

mi +1П2

и энергия, теряемая при соударении.

«7 =

т.,т.2

{7M-V2){\-k),

2 (т,+т2)

где К - коэффициент восстановления. Программа 7.63.

Пример. Для.г;о = 130 м/с, а = <3 = = 25°, G = g=9,8 м/с получаем 4 = =ТНМАКС=5,606 с, 4„=TSMAK(!: = = 11,212 с, /г„=Н (М) =308,005 м, s„ = = S(M) = 1321,036 м. Далее, задав / = Т = = 0,5 с, получим S(T) =58,91 м, Н (Т) = = 26,245 м и и (Т) =28,006 м/с.

В приведенном выше примере не учитывалось сопротивление воздуха, существенное при больших скоростях. При учете сопротивления воздуха полет тела описывается системой из двух нелинейных дифференциальных уравнений, решаемых методом Рунге - Кутта или другим методом (см. § 4.10).

Период колебаний реального тела (физического маятника) с распределенной массой т и моментом инерции 1, подвешенного или подвижно закрепленного в точке А, не совпадающей с положением центра масс (точка 0)j огщеделяется выражением 7"=

=2л ylA/mgs, где s - расстояние от точки О до точки А. Соответственно, зная период

10 PRINTPACHET СКОРОСТЕЙ И ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ПРИ ЛОБОВОМ 20 PRINT СТОЛКНОВЕНИИ ДВУХ ТЕЛ

30 ШРИТВВЕДИТЕ МАССЫ ТЕЛ M1,M2 Й,В

40 INPUTВВЕДИТЕ СКОРОСТИ ТЕЛ ДО СОУДАРЕНИЯ Ulj.U2 C/Ti

50 INPUTBBEAHTE КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ К=К

60 LETE=A.*C+B*II! LETM=A+B! иЕТи=<С-10жК

?0 LETU1=*:E-U*B>/M: ЬЕТи2=(Е+ижВ)/М

75 LETW=A*B.*<:C-II>-2«a-K*K>/2/M

80 PRINTСКОРОСТЬ U1 ПОСЛЕ СОУДАРЕНИЯ =U1

30 PRINTСКОРОСТЬ U2 ПОСЛЕ СОУДАРЕНИЯ =U2

100 РК1НТП0ТЕРЯ ЭНЕРГИИ ПОСЛЕ УДАРА W=W!ENIi

Пример. Для mi = l кГ, «12=1 кГ, r.ii = 2 м/с, г.1)=1 м/с, k = 5/9 получим vi = = 1,222 м/с, г./. = 1,778 м/с и «7 = 0,1728 Дж.

Тело массой т, брошенное вверх под углом к горизонту а с начальной скоростью vo, поднимается на максимальную высоту /г„ за время ,= {тм sin a)/g при общем времени движения (до падения) /sm = 2 i„. Прн этом максимальная высота подъема й„ = (tif, sin а) /2g, а дальность полета s„ = = (уо sin 2а) /g. В заданный момент времени t расстояние s и высота А определяются параметрически заданными уравнениями s = = V(,t cos а, h = V(,t sin a - gt-/2, где g - ускорение свободного падения. Скорость тела при этом v=lvi - 2gh.

Программа 7.64.

колебаний физического маятника, можно найти его момент инерции относительно

точки /o = ms-5-. Программа .7.65

обеспечивает расчет Т или /о (искомой величине при вводе задается значение 0). Программа 7.65.

Пример. Для т = 0,5 кГ, s = 0,5 м, g = 9,8 м/с и 1=2 кГ/м, задав 1=0, получим Т=5,67690758 с. Задав Т=5 с и /=0, получим /0=1,426480625 кГ/м

Атмосферное давление Р (в килопаскалях) и плотность воздуха R (кГ/м=) на высоте Н (км) определяется формулами

Я=101,3(l-6.5Я/288)2

/?= 1,2255 (1-6,5Я/288)*-"

85 PRINTPACHET ПАРАМЕТРОВ ДВИИЕНИЯ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД

18 PRINTУГЛОМ Q К ГОРИЗОНТУ С НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬ» US/

15 PRINT БЕЗ УЧЕТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА

20 INPUTBBEAHTE НАЧАЛЬНУЮ СКОРОСТЬ U0=U

30 INPUTBBEAHTE УГОЛ < В ГРАДУСАХ ) Q=Q

40 INPUTBBEAHTE УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ 6=G

50 LETG!=RAB<:Q)sLETT=UiiiSIN<:Q>/G

60 PRINTВРЕМЯ. ДВИЖЕНИЯ ДО МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫСОТЫ Т МАКС=Т

70 PRINTОБЩЕЕ ВРЕМЯ ДВИШЕНИЯ Т SM=2*T

80 PRINTГЧЙКСИМАЛЬНАЯ ВЬЮОТА Н=ижижб1Н<0)"2.8

30 PRINTДАЛЬНОСТЬ ПОЛЕТА S М=ижижб1Н<2ж(5>/6

100 INPUTBBEAHTE ВРЕМЯ Т=Т

110 PRINTРАССТОЯНИЕ 6<Т>=ижтжС05<0>

120 LETH=U*T*SIN<Q>-G«T*T/2sPRINTВЫСОТА на>=Н

130 PRINTСКОРОСТЬ U<T)=SGR<U*U-2iti63«H>

140 60Т0 108:END

Давление Р, выраженное в миллиметрах Максимальное число слоев при реализа-

ртутного столба, получаем умножением Р ции этого алгоритма определяется макси-

на 7,5. мальным номером индекса i для одномер-

Программа 7.66. ного массива, отведенного под Li/Ki.

10 PRINTАТМОСФЕРНОЕ ДАВЛЕНИЕ И ПЛОТНОСТЬ ВОЗДУХА

20 ШРиТВВЕДИТЕ ВЫСОТУ Н<КМ>=Н

30 LETP=101,3*C,l-6.53«H/288>-5.255

40 PRINT!F3.4!ДАВЛЕНИЕ Р=РКИЛОПАСКАЛЬ

50 PRINT !F3. 4!ДАВЛЕНИЕ P=P«7.5.MM РТУТНОГО СТОЛБА

60 LETR=1.2255*<: 1-6.5жН288>"-4.255

70 PRINT!F1.5".ПЛОТНОСТЬ ВОЗДУХА R=R КГ-МЗ

80 60Т0 20s END

90 PRINTCROPOCTb U2 ПОСЛЕ СОУДАРЕНИЯ =U2 100 РР1НТП0ТЕРЯ ЭНЕРГИИ ПОСЛЕ УДАРА W=U!ENII

Пример. Для Я=! км получаем Р = = 89,84852 кПа, Р = 673,86387 мм рт. столба и «=1,!!206 кГ/м=.

Распределение температуры в стационарных условиях в многослойном стержне (рис. 7.26) может вычисляться по следующему алгоритму.

!. Вводим исходные данные (число слоев Л, температуру свободной поверхности первого слоя Го и последнего Тп, площадь поперечного сечения стержня s, толщину слоев Li - L„ и коэффициенты термической проводимости К\ - К„). По мере ввода Li, Ki вычисляем и запоминаем значения Li/Ki.

2. Вычисляем - величину Q=(7o -

- Тп)/ (ii7K,)/s, организовав с помощью (=1

цикла вызов значений Li/Ki при i= I, 2,..., п.

3. С помощью рекуррентного соотношения Ti = Ti-, - Q {Li/Ki) /s находим температуру каждого слоя.

Программа 7.67.

Рис. 7.26. К расчету стационарного распределения температуры по длине многослойного стержня

Пример. Для трехслойного стержня, имеющего « = 3, s=I м=, Z-i=0,25 м, К\ = 1,2 (К, измеряется в ккал/м-час-К°), L2 = = 0,12 м, К2 = 0,25, 1-3=0,15, /Сз = 0,75, 70 = 900 °С и Гз= 100° получим Г, =712,383 "С и 72 = 280,113 °С.

1и PRINTPACHET СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

20 PRINT ПО ДЛИНЕ МНОГОСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

30 INPUTВВЕДИТЕ ЧИСЛО СЛОЕВ N=N:IIIM РСН>

40 INPUTВВЕДИТЕ ТЕМПЕРАТУРУ В НАЧАЛЕ СТЕРЖНЯ Т0=Т

50 INPUTВВЕДИТЕ ТЕМПЕРАТУРУ В КОНЦЕ СТЕРЖНЯ ТН=Ы

60 INPUTВВЕДИТЕ ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГОСЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ S=S

78 PR INTВВЕДИТЕ ДЛИНУ СЛОЕВ И ИХ ТЕРМИНЕСКУИ) ПРОВОДИМОСТЬ

80 LETR=0!FOR 1=1 ТО N

90 PRIHT!3.0!L<;I>.-K*:I>SINPUT"L/K

100 LETpa>=bKsLETR=R+Pa>sNEXT I

110 LETQ=<T-W>*S-R5PRIHT!F1,9!G=Q

128 LETH=T:F0R 1 = 1 TO H: LETH=H-G*Pa >-3

130 PRIHT!3.0!ТЕМПЕРАТУРА ТI=! 4.6!H!NEXT IsENII

10 PRINTPACHET ПАРАМЕТРОВ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

20 PRINTНЕИЗВЕСТНОМУ ЗНАЧЕНИИ) 1 ИЛИ Т ЗАДАЙТЕ ЗНАЧЕНИЕ в

30 INPUTВВЕДИТЕ МАССУ М=М

35 INPUTВВЕДИТЕ УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ 6=6

40 INPUTРАССТОЯНИЕ ОТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ДО ТОЧКИ ПОДВЕСА S=S

50 INPUTЗАДАЙТЕ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СИЛИ 0) !=!

60 INPUTЗАДАЙТЕ ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ СИЛИ 0) Т=Т

70 IF 1=0 THEN 90

80 РР1НТПЕРИ0Д КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА T=2*#Pl!*SGRa.M.S6):60T0 56

90 PRINTМОМЕНТ ИНЕРЦИИ I0=M.*S*<;6*T*T4.#PI-3-S>!8OTn 58:END

§ 7.9. Финансово-экономические расчеты

Сумма S, получаемая при Р % годовых начислений и первоначальном единовременном вкладе sn за период Л/, определяется по формуле сложных процентов

s = sn (!+Я/100).

Из этой формулы получаем следующие выражения:

s„ = s/(! + P/I0O)\ Л/ = - g-S-"

Ig (I + P/100)

p=m\(s/so)"-\\.

Зная три заданных параметра, по этим формулам находится четвертый - неизвестный параметр. В программе 7.75 для нахождения искомого пара.вдетра при его вводе задаем ему нулевое значение. Программа 7.68.

Пример С. Через сколько лет начальный вклад So = 20 ООО руб. увеличится до суммы s = 30 000 руб., если процент годовых начислений Р = 3 %? Вводим s = 30 000, so = = 20 000, А/ = 0, Р = 3. получаем Л=!3,72 года (примерно 14 лет).

Пример D. Какой процент годовых начислений Р должен обеспечить банк, чтобы первоначальный вклад sn=15 000 руб. увеличился вдвое за> время /\/=18 лет? Вводим s = 2-15 000=30 ООО, 50=15000. W=18, Я = = 0, получаем Р=3,926 %.

Если в каждый из <V периодов (лет или месяцев) вкладывается (нли погашается) сумма S\ при Р % годовых начислений, тр общая сумма вклада (погашения) составит величину

/ = Р/100.

Ш PRIHTЕЫЧИСПЕНИЯ.СО СШ!«НЫМИ ПРОЦЕНТАМИ

20 PRIHTИСКОМОЙ ВЕЛИЧИНЕ ЗАДАЙТЕ НУЛЕВОЕ ЗНАЧЕНИЕ

зе IHPUTВВЕДИТЕ КОНЕЧНУЮ ВЕЛИЧИНУ S=S

40 INPUTBBEAHTE НАЧАЛЬНУЮ ВЕЛИЧИНУ 30=2

50 INPUTВВЕДИТЕ ПРОЦЕНТ Р=Р

60 IhFUTВВЕДИТЕ ЧИСЛО ПЕРИОДОВ N=N

70 PRIHT!6.2! " ! LETA=l+P-10e

88 IF S=e THEN PRINTSZ*ft-N

98 IF Z=0 THEN PRINTSeS-A-N

180 IF N=0 THEN PRINTH=L0G«;S.Z)L06<:A>

lie IF P=0 THEN PRINTP=«:(S-Z)41.N>-l>*ie8

128 END

Пример A. Пользователь сберегательной кассой внес в нее вклад хс. = 5000 руб. До какой суммы s он возрастет через (V = 5 лет, если процент годовых начислений Р = 3 %. Вводим .9 = 0, sn = 5000, ,V=5, Я = 3. получаем 5 = 5796.37 руб.

Пример В. Вскоре после рождения сына родители решили внести в сберкассу вклад So с тем, чтобы через 22 года (предполагаемое время его женитьбы) вклад вырос до суммы 5 = 30 000 руб., достаточной для приобретения дома. Каков должен быть вклад So, если процент годовых начислений Я = 3%? Вводим s = 30 000, so = 0. А/= 22, р = 3, получаем so=15 656 руб. (т. е. почти вдвое меньше s).

Из этой формулы получим

/v=\<Z£i±lLH,,

In (1+/)

(!+/)-!

Однако относительно / или Р явного выражения получить не удается. Поэтому нахождение Р = 1-\0О осуществляется численным методом поразрядного приближения из решения нелинейного уравнения

F (/)=5 [.(1+/)-1]-5,=0.

Выбор неизвестного параметра (s. А/, si или /) обеспечивается заданием ему нулевого значения при вводе. Программа 7.69.

10 PRINTРАСЧЕТЫ ВКЛАДА <ППГЙШЕНИЯ> ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ 20 PRINT РАВНЫХ ВЗНОСАХ

30 PRINTИСКОМОЙ ВЕЛИЧИНЕ ЗАДАЙТЕ НУЛЕВОЕ ЗНАЧЕНИЕ

40 INPUTВВЕДИТЕ КОНЕЧНУЮ ВЕЛИЧИНУ S=S

58 INPUTВВЕДИТЕ СУММУ КАЖДОГО ВКЛАДА 81=Z

6S IHPUTВВЕДИТЕ ПРОЦЕНТ Р=Р

78 IHPUTВВЕДИТЕ ЧИСЛО ВКЛАДОВ Н=Н

38 PR IНТ! 8.2! " ! LET I =Р, 180

90 IF S=0 THEN PRINTS=Z.*<a+I>"N-l>I

180 IF H=8 THEH PRINTN=LO&<;S*bZ+l>.LnGa+I>

lie IF Z=e THEH PRIHTSl = S*I/-<<l + i>N-l)

11.5 IF P<>8 THEH STOP

ise LETi=e!LETH=.ei

130 LETI=I+H!GnsUE 170 148 IF F-H>=0 THEH 138

158 LETH=-H-4! IF AES<H>>2.5E-4 THEN 138

168 PRINTP=100«I -/.SSTOP

178 LETF=S*I<a+I>N-1 >-Z:RETURHsEND