скобки в последней формуле указывают порядок выполнения операций.

Умножение, Любые два натуральных числа а и & имеют произведение обозначаемое а • b или aft, которое само является натуральным числом. Операция умножения удовлетворяет двум законам:

аЬ = Ьа {коммутативный закон умножения) а{Ьс) = {аЬ)с {ассоциативный закон умножения).

Имеется также закон, связывающий сложение и умножение:

а{Ь + с) = аЬ + ас {дистрибутивный закон).

Порядок. Если а и & - два натуральных числа, то или а равно ft, или а меньше ft, или b меньше а, и из этих трех возможностей осуществляется ровно одна. Утверждение «а меньше &» символически выражается в виде а < ft, в этом случае мы говорим также, что b больше а, символически: b > а. Основной закон, управляющий этим отношением порядка, таков:

если а < b и b < с, то а < с.

Имеются также два закона, связывающих отношение порядка с операциями сложения и умножения:

если а < Ь то а + с < b + с и ас < Ьс

каково бы ни было натуральное число с.

Сокрашение. Два закона сокращения логически вытекают из законов порядка; однако они достаточно важны, и мы их точно сформулируем. Первый закон гласит:

если а + X - а + у, то х - у.

Это следует из того, что если х < у, тоа + х < а + у что противоречит предположению; невозможно также неравенство у < х; поэтому х = у. Тем же способом получаем и второй закон сокращения, утверждающий, что

если ах = ау то х = у.

Вычитание. Вычесть число b из числа а - значит найти, если это возможно, такое число х, что b + х = а. Возможность вычитания связана с отношением порядка следующим законом: b можно вычесть из а тогда и только тогда, когда b меньше

/--ч /--ч

а <

• • • • • •

а <

Рис. 1. Рис. 2.

Все вышеупомянутые законы довольно очевидны, если сложение и умножение понимать как действия над совокупностями некоторых предметов. Например, коммутативный закон умножения становится очевидным, если рассмотреть прямоугольную таблицу (рис. 1), в которой предметы расположены в b столбцов и а строк; число предметов в ней равно аЬ или Ьа. Дистрибутивный закон очевиден, если рассматривать совокупность предметов на рис. 2; в этой совокупности имеется а{Ь + + с) предметов, их число складывается из аЬ и ас предметов. Несколько менее очевидным, возможно, является ассоциативный закон умножения, утверждаюш;ий, что а{Ьс) = {аЬ)с. Чтобы сделать ясным и этот закон, рассмотрим прямоугольник, изображенный на рис. 1, заменив в нем каждый предмет числом с. Тогда сумма всех чисел в каждой строке равна йс; так как имеется а строк, то полная сумма равна а{Ьс). С другой стороны, имеется аЬ чисел, каждое из которых равно с, поэтому полная сумма есть {аЬ)с. Значит, а{Ьс) = (а&)с, что и требуется доказать.

а. Из первого закона сокрагцения следует, что если вычитание возможно, то результат единственен; действительно, если b + + х = аиЬ + у = а то х = у. Результат вычитания & из а обозначается а - Ь. Правила действий со знаком минус, например а - {Ь - с) = а - b + вытекают из определения вычитания и коммутативного и ассоциативного законов сложения.

Деление, Разделить число а на число Ь - значит найти, если это возможно, такое число х, что Ьх = а. Если такое число сугцествует, то оно обозначается или а/Ь. Из второго закона сокрагцения следует, что если деление возможно, то результат единственен.

b Ь с

Законы арифметики вместе с принципом индукции (который мы обсудим далее) образуют основу для логического развития теории чисел. Они дают возможность доказывать общие теоремы о натуральных числах, не возвращаясь к исходным значениям чисел и операций над ними. Правда, некоторые довольно глубокие результаты теории чисел проще всего получить, подсчитав определенное число предметов двумя различными способами, но таких результатов не очень много.

Хотя законы арифметики и образуют логическую основу теории чисел (на самом деле они являются основой и для большей части математики), было бы неудобным возвращаться к ним на каждом этапе доказательства, поэтому мы будем предполагать, что читатель уже обладает некоторыми знаниями в области элементарной математики. Мы детально обсудили эти законы, чтобы показать, где предмет действительно начинается.

Закончим этот пункт кратким рассмотрением соотношений между системой натуральных чисел и двумя другими числовыми системами, важными как в высшей арифметике, так и в математике вообще: системой всех целых и системой всех рациональных чисел.

В системе натуральных чисел всегда выполнимы действия сложения и умножения, но не всегда выполнимы вычитание и деление. Чтобы сделать вычитание всегда возможным, в математике вводятся число О и отрицательные целые -1, -2, ... Вместе с натуральными числами они образуют систему всех целых чисел: ..., -2, -1, О, 1, 2, ..., в которой вычитание всегда выполнимо и результат вычитания определен единственным образом. Элементарная алгебра учит, как в этой расширенной числовой системе определить умножение («правило знаков»), чтобы законы арифметики, управляющие сложением и умножением натуральных чисел, оставались в силе. Отношение порядка распространяется на все целые числа так, что управляющие им в системе натуральных чисел законы сохраняются и здесь, кроме одного исключения: из а < & вытекает ас < be только в случае, если с положительно. Расширение системы натуральных чисел приводит к исключению и во втором законе сокращения.