5] УРАВНЕНИЕ ах - by = 1 89

следний элемент в виде (п -1) +Новая непрерывная дробь имеет на один член больше, чем старая, и ее предпоследняя под-ходяш;ая дробь является решением уравнения, в котором справа стоит +1. На самом деле, здесь получается то же решение, что и в первом случае.

В качестве простого числового примера найдем натуральные числа X и у удовлетворяюш;ие уравнению

61х-Щ= 1. 61

Непрерывная дробь для -- такова:

3+ 1+ 2+ 4 *

Подходяш;ими дробями для нее будут , , Так как

в этом случае п равно 4, числа j; = llny=14 удовлетворяют уравнению 61х - 48у = - 1. Чтобы решить нужное уравнение, возьмем :с = 48 - И = 37, у = 61 - 14 = 47. Или видоизменим непрерывную дробь:

11111 3+1+ 2+3+1 * Теперь подходяш;ими дробями служат

1 4 5 14 47 61 1 3 4 11 37 48

предпоследняя подходяш;ая дробь, --, дает решение.

Легко заметить, что эта конструкция дает наименьшее решение уравнения: так получается решение, для которого х меньше b и у меньше а. Если обозначить это решение через Хоуо то об-ш;ее решение будет задаваться формулой х - x + bt., у - уо + at где t - любое положительное целое число или нуль. Если t не равно нулю, то х больше Ь, а у больше а.

6. Бесконечные непрерывные дроби. До сих пор мы

рассматривали разложение рациональных чисел в непрерывную дробь. Можно разложить в непрерывную дробь и иррациональное число, но в этом случае разложение будет бесконечным.

Пусть а - какое-нибудь иррациональное число. Обозначим через до целую часть а, т. е. наибольшее целое число, не пре-восходяш;ее а. Тогда а = + о!, где Ы - дробная часть а,

удовлетворяюш;ая неравенству О < о < 1. Положим о1 = -, ах

тогда а = qo + - и ах>\. Ясно, что ах также иррационально, так как если бы оно было рациональным, то рациональным было бы и само а. Далее, повторяем эту операцию с ах, представив его в виде oi = gi + -, где о2 > 1- Этот процесс можно продолжать без конца. Получив иррациональное число о > 1,

представим его в виде оп = 9п Н--? где otnx > 1, 9п ~ нату-

ральное число. Используя полученные равенства, находим

111 = 90 + - ... -. 13

gi+ g+ апх

Числа gi, ..., g - натуральные; целое число до может быть положительным, отрицательным или нулем. Если > 1, до - положительное число и все элементы дроби являются натуральными числами. Числа до, gi, • • • называются, как и раньше, элементами, или неполными частными, непрерывной дроби; полное частное, соответствуюш;ее д, равно а, или (что то же)

Qn Н---. Описанный процесс никогда не окончится, потому

что каждое полное частное ах, 02, ••• является иррациональным числом.

Ао Ах 1 Подходяш;ие к непрерывной дроби: -- = до, -- = до Н--,

А, I 1 Во В, q,

= 9о Н---5 • • • образуют бесконечную последователь-

В2 gi+ g2

ность рациональных чисел. Рекуррентные соотношения (8) и (9) выполняются и для этой последовательности, так как рассматриваемые дроби являются подходяш;ими дробями к конечной непрерывной дроби (13) и можно применить результаты, доказанные ранее. Мы видим теперь, что вначале важно было не ограничиваться рассмотрением непрерывных дробей с натуральными элементами. Сделав так, мы не смогли бы применить полученные результаты к непрерывной дроби (13), так как в нее входит иррациональное число оп+ь

БЕСКОНЕЧНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ

Равенство (13) дает возможность выразить а через полное

частное a+i и две подходящие дроби - и . Действитель-

но, используя прежние обозначения, из (13) можно легко найти, что

9ь92, ..., 9n,Qn+l

Далее, в силу (5)

.90, 9ь • • • 5 9п, Qn+iJ

= Qn+i[9o, 9ь • • • 5 9п] + ко, 9ь • • •, 9n-l] = Qn+ln + An-i. Аналогично знаменатель а равен a+iP + Б+ь откуда

anJriAn + An-i ....

а = -----. (14)

В дальнейгпем на протяжении этой главы формула (14) будет наиболее полезна.

Установив, что формула (13) имеет место для сколь угодно больших п, хочется написать

= 90 + ... (15)

91+ 92+

Но до этого необходимо точно представить себе, что может означать такая запись. По виду этого утверждения из него следует, что как-то производится бесконечное число операций сложения и деления, указанных в правой части, посредством которых вырабатывается некоторое число; утверждается, что это число равно а. Единственным способом осмыслить значение результата бесконечного числа операций является использование понятия предела. Если мы сможем доказать, что последовательность подходящих дробей -, -, -, ..., где - = 9о +

По П1 П2

Н--... -, имеет некоторый предел при бесконечном возрас-

91+ 9п

тании п, то правую часть (15) можно будет истолковать как значение этого предела. Если этот предел равен а, то равенство (15) действительно имеет место.

Нетрудно доказать, что стремится к а при неограничен-