Не каждое ск, удовлетворяющее этим условиям, является приведенным, так как из этих условий не следует, что а > -1.

Тогда сопряженное к а число о, которое является вторым корнем квадратного уравнения, задается формулой

"=-

P-D b-(b-Aac)

Заметим, что --- =--- = 2с, следовательно,

q 2а

р - d кратно q.

Так как а предполагается приведенным мы имеем > 1 и - 1<а<0. Это значит, что

(I) а - а > о, т. е. > О, откуда q > 0;

(II) а + а > о, т. е. > О, откуда Р > 0;

(III) а < О, т. е. Р < л/D;

(IV) с > 1, т. е. q <P + Vd < 2Vd.

Таким образом, приведенная квадратичная иррациональность представима в виде (25) с натуральными Р и которые удовлетворяют* условиям

р <Vd, Q< 2VD; (26)

кроме того, р - d кратно q.

Будем разлагать а в непрерывную дробь. Первый шаг в процессе разложения - представить а в виде

= 90 + , (27)

где до - целая часть а и ai>l. Легко видеть, что ai снова является приведенной квадратичной иррациональностью; действительно, равенство (27) показывает, что сопряженные к с и ci

связаны аналогичным соотношением: а = до + \- Поэтому а. =---; так как а отрицательно и ~ натуральное

до-су

число, мы имеем до - а > 1 значит, а[ лежит между -1 и 0.

Аналогично все последуюгцие полные частные а, ... - приведенные квадратичные иррациональности. Из выражения для ai следует, что

1 Р + л/D P-Qqo + VD

= а- qo =----qo =

Положим Pi = -Р + Qqq. Тогда

Q Pi + VD -P, + VD~ Qi где Qi определяется равенством

D-P = QQ,, (28)

Заметим, что Qi - целое, так как Р - D кратно Q и Pi = -Р (mod Q). Мы имеем

с.. = , (29)

и так как ai - приведенное, целые Pi и Qi положительны и удовлетворяют условиям (26). Более того, ~ В) кратно Qi в силу равенства (28).

Теперь можно рассмотреть вопрос о том, как процесс разложения в непрерывную дробь продолжается дальше. На следуюгцем шагу мы начнем с oi, вместо а, но процесс будет тем же самым. Вообгце, каждое полное частное имеет вид

где Рп и Qn суть натуральные числа, удовлетворяюгцие (26) и обладаюгцие тем свойством, что Р - D кратно Qn- В силу (26) для Рп и Qn имеется лишь конечное число возможностей, так что, в конце концов, мы придем к некоторой паре значений, уже встречавшейся ранее. Тем самым мы придем к некоторому уже встречавшемуся полному частному; не позднее, чем с этого места, начинается период непрерывной дроби.

Нужно егце доказать, что непрерывная дробь будет чисто периодической, т. е. что ее период начинается с первого элемента. Для этого мы покажем, что если an = ош? то an-i = от-ь тем самым мы сможем вернуться к началу непрерывной дроби. Доказательство основано на том, что неполные частные Qn мож-

НО сопоставить не только полным частным о, но и (аналогичным способом) их сопряженным. Соотношение между любым полным частным и следуюгцим за ним полным частным имеет

вид an = qn---• То же соотношение связывает и их сопря-

женные, так что а = qn-\---. Но каждое сопряженное лежит

между -1 и 0; введем для--у-- символ (Зп. Тогда каждое из

чисел Рп больше 1. Последнее соотношение принимает вид

~ о - Чп ~ Рп+1? Рп

или

Рп+1 =Чп + -Г Рп

Из этого соотношения следует, что q, являясь целой частью о, может в то же время интерпретироваться и как целая часть

Пусть теперь an и am - два равных полных частных и т < п. Тогда их сопряженные а и а также равны и потому Рп = Рт- силу только что доказанного Qn-i есть целая часть Рп а Qm-i - целая часть Рт- Следовательно, Qn-i = Qm-i-Но

1 1

n-l - Qn-l Н--? m-l - Qm-l Н--5

an am

значит,

an-i = am-i-

Повторив рассуждение, получим an-2 = и так далее до

тех пор, пока мы не установим, что on-m таково же, как и само

а. Полагая п - т = находим

1 1 1 = 90 + -- ...-- - ,

qi+ qr-i+ 01

а это показывает, что а разлагается в чисто периодическую непрерывную дробь. Таким образом, мы установили основной результат этого пункта: чисто периодические непрерывные дроби являются приведенными квадратичными иррациональностя-ми, и обратно, всякая приведенная квадратичная иррациональность разлагается в чисто периодическую непрерывную дробь.