решений.

Разрозненные упоминания о частных случаях уравнения Пелля встречаются на протяжении всей истории математики. Наиболее любопытна так называемая задача о скоте (Cattle problem) Архимеда, опубликованная Лессингом (Lessing) в 1773 году по рукописи из библиотеки Вольфенбюттеля (Wolfenbuttel). Утверждают, что эту задачу Архимед предложил Эратосфену; большинство экспертов, исследовавших этот вопрос, пришли к заключению, что задачу действительно поставил Архимед. Эта задача содержит восемь неизвестных (число животных различных видов), удовлетворяюгцих семи линейным уравнениям и двум условиям, в которых требуется, чтобы некоторые числа были точными квадратами. После элементарных алгебраических преобразований задача сводится к решению уравнения

4 729 494 = 1.

В наименьшем решении этого уравнения, найденном Амтором (Amthor) в 1880 году, и содержит 41 цифру. Наименьшее решение исходной задачи, полученное отсюда, состоит из чисел с сотнями тысяч знаков. Античные математики, конечно, не могли решить этой задачи, но уже сам факт ее постановки говорит о том, что они обладали какими-то не сохранившимися сведениями об уравнении Пелля.

В более поздние времена первый систематический метод решения уравнения Пелля дал лорд Браункер* в 1657 году. Это был, по сугцеству, метод разложения л/N в непрерывную дробь, который будет объяснен ниже. Примерно в то же время де Бесси (Frenicle de Bessy) в не сохранившейся работе составил таблицы решений уравнения (31) для всех N вплоть до 150 и предложил Браункеру решить уравнение

- 313?/ = 1.

Браункер дал решение (в котором х состоит из шестнадцати цифр), отметив, что нашел это решение своим методом за час

*) Вильям Браункер (William Brouncker (1620-1684)) в качестве второго виконта Браункера получил в наследство от своего отца замок Лионе (Lyons) в Ирландии в 1667 году. Читатели «Дневника» помнят, что Пени (Pepys) был низкого мнения о его моральном облике. Однако математические исследования лорда Браункера делают ему честь.

или два. Валлис (Wallis), излагая метод Браункера, и Ферма, комментируя работу Валлиса, утверждали, что могут доказать разрешимость уравнения Пелля. Кажется, Ферма первый ясно высказал утверждение о том, что это уравнение имеет бесконечно много решений. Первым опубликованным доказательством было доказательство Лагранжа, появившееся около 1766 года. Эйлер по недоразумению приписал этому уравнению имя Пелля; Эйлер думал, что предложенный Валлисом метод решения этого уравнения принадлежит Пеллю (John Pell) - английскому математику того же времени.

Решение уравнения Пелля легко может быть получено в терминах непрерывной дроби для /N, Мы видели в п. 9, что

1 111

л/N = qo +

qi+" qn+ 2go+ qi+

(Мы видели также, что = 91 и так далее, но здесь это для нас

неважно.) Пусть теперь и - - две подходягцие дроби,

стоягцие непосредственно перед элементом 2до, именно:

Ап-1 1 1 Л 1 11

= 9о + --...-; - = 9о +

Вп-1 91+ 9п-1 Вп 91+ 9п-1+ 9п

По формуле (14) имеем

Qn+ln + Ап-1 On+lBn + Вп-1

где ani - полное частное, стоягцее за д, т. е.

ап+1 = 2до + ... = Vn + до. 91 +

Подставляя это значение для an+i и производя умножение, получаем

Vn{Vn + до) Bn + VN Вп-1 = {VN + qo)An + An-i.

Так как /N иррационально, а все остальные числа - целые, то из этого уравнения следуют равенства

NBn =qoAn + An-u qoBn + Bn-i = An. Их можно рассматривать как выражения An-i и Bn-i в терми-

\/29 = 5,2,1,1,2,10;

п = 4. Подходящие равны

5 И 16 27 70 1 2 3 5 13

и X = 70, у = 13 дает решение уравнения

нах An vl Вп.

Ап-1 = NBn - qoAn, Bn-l = An - QoBn-Подставив это в (10), получим

Ап{Ап - qoBn) - BniNBn - 9оЛ) = (-1)""

Al-NBl = i-ir-\ (32)

Значит, X = An и у = Вп являются решением уравнения

Я;2-ТУу2= (-1)-1.

Если п нечетно, то мы получим решение уравнения Пелля. Если п четно, заметим, что приведенное рассуждение можно применить к двум подходяш;им дробям, стояш;им в конце следуюш;его периода. Так как элемент Qn который встретится во втором случае, равен 92п+ь если нумеровать элементы с начала, то в (32) следует заменить п на 2п + 1; это дает

L+i - NBl, = i-ir = 1,

так что (в любом случае) уравнение (31) разрешимо в натуральных числах.

Проиллюстрируем это построение двумя численными примерами, одним - для нечетного п, другим - для четного п. Возьмем сначала N = 21. Непрерывная дробь (см. табл. I) такова:

721 = 4,1,1,2,1,1,8 и n = 5. Подходящие равны

4 5 9 23 32 55

1 1 2 5 7 12 и ж = 55, у = 12 - решение уравнения

- 21у = 1.

Возьмем далее iV = 29. Непрерывная дробь имеет вид