Android-приложение для поиска дешевых авиабилетов: play.google.com
Главная -> Высшая арифметика

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

Непрерывная дробь для л/iV

а:2 - iVy2

1; 2

1; 1, 2

2; 4

2; 2,4

2; 1, 1, 1,4

2; 1,4

3; 6

3; 3, 6

3; 2,6

3; 1, 1, 1, 1, 6

3; 1, 2, 1, 6

3; 1,6

4; 8

4; 4,8

4; 2, 1, 3, 1, 2, 8

4; 2,8

4; 1, 1, 2, 1, 1, 8

4; 1, 2, 4, 2, 1, 8

4; 1, 3, 1, 8

4; 1,8

5; 10

5; 5, 10

5; 3, 2, 3, 10

5; 2, 1, 1, 2, 10

5; 2, 10

5; 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10

1520

5; 1, 1, 1, 10

5; 1, 2, 1, 10

5; 1, 4, 1, 10

5; 1, 10

6; 12

6; 6, 12

6; 4, 12

6; 3, 12

6; 2, 2, 12

6; 2, 12

6; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 12

3482

6; 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 12

6; 1, 2, 2, 2, 1, 12

6; 1, 3, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 1, 3, 1, 12

24335

3588

6; 1, 5, 1, 12

6; 1, 12

7; 14



Чтобы получить решение уравнения с 1 вместо -1, продолжим

Л / о 1 тт М 70

ряд подходяш;их до -- (здесь 2п + 1 - 9). Имеем -- = --,

X) 9 Х)4 13

следуюш;ие подходяш;ие дроби имеют вид:

727 1524 2251 3775 9801 135 283 418 701 1820 * Отсюда найдем, что х = 9801, у = 1820 - решение уравнения

х - 29у = 1.

Можно доказать, что описанный выше процесс приводит всегда к наименьшему решению. Наименьшие решения уравнения - Ny = ±1 вплоть до TV = 50 приведены в табл. L

Использованные в этом пункте методы позволяют установить егце некоторые факты, относягциеся к уравнению Пелля. Во-первых, это уравнение имеет бесконечно много решений, и все его решения получаются из подходяш;их дробей, соответ-ствуюш;их элементам Qn в конце каждого периода. Если п нечетно, т. е. у непрерывной дроби есть средний элемент (как в примере с л/21), все эти решения суть решения уравнения с +1. Если же п четно, т. е. если среднего элемента нет (как в примере с л/29), то выбранные так подходяш;ие дроби попеременно дают решения уравнений с -1 и +1.

Все решения могут быть получены из первого решения и прямым вычислением, без дальнейшего разложения в непрерывную дробь. Если Хо, 2/0 ~ наименьшее решение уравнения

х - Ny = ±1, задаваемое подходяш;ей дробью -, то обш;ее

решение этого уравнения получается по формуле

x + y\/N = {xo + yoVNy,

где г = 1, 2, 3, ... Так, в примере с л/29 находим

9801 + 182029 = (70 + 1329)1

Различие случаев четного и нечетного п приводит к задачам, полное решение которых до сих пор неизвестно. Например, нет способа полностью охарактеризовать числа TV, для которых п четно. Если уравнение х - Ny - -1 разрешимо, то разрешимо и сравнение +1 = О (mod TV). Отсюда следует, что в этом



случае N не может делиться ни на 4, ни на простое вида 4А; + 3 (П1, 3). Как мы увидим позже (VI, 5), такое N представимо в виде u + v с взаимно простыми и и v. Это условие является необходимым условием разрешимости уравнения - Ny = - 1, но это условие не достаточное; например, для числа 7V = 34 указанное условие выполнено, однако уравнение - Ny = - 1 неразрешимо.

Решения более обш;его уравнения

- Ny = ±М,

где М - целое положительное, меньшее чем /N, тесно связаны с разложением в непрерывную дробь. Можно доказать, что каждое решение любого из таких уравнений порождается некоторой подходяшей дробью в непрерывной дроби для /N.

12. Геометрическая интерпретация непрерывных дробей. Замечательную геометрическую интерпретацию непрерывной дроби иррационального числа предложил в 1895 году Клейн (F. Klein). Пусть а - иррациональное число, предполагаемое для простоты положительным. Рассмотрим всевозможные точки плоскости с целыми положительными координатами и предположим, что в этих точках расставлены колышки. Прямая у = ах ИИ через один из этих колышков не пройдет. Представим себе, что вдоль этой прямой натянута веревка, один конец которой закреплен в бесконечно удаленной точке этой прямой. Если другой конец веревки, расположенный в начале координат, отвести в сторону, веревка зацепится за некоторые колышки; если его отвести в другую сторону, то веревка зацепится за какие-то другие колышки. Колышки (лежагцие под прямой) расположены в точках с координатами (Бо?о)? (2,2) ... соответствуюш;их подходяш;им дробям, меньшим а. Другой ряд колышков (над прямой) состоит из точек с координатами (5i,i), (Бз,Лз), ... соответствуюш;их подходяш;им дробям, большим а. Каждое из положений веревки образует ломаную линию, приближаюш;уюся к прямой у = ах.

Диаграмма иллюстрирует случай

/5 1 1 1 1

Подходягцие дроби здесь равны



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57



0.028
Яндекс.Метрика