вопрос - вопрос о представлении числа не данной конкретной формой, а хотя бы одной формой из некоторого класса форм.

Общие идеи теории, возникающие из понятия эквивалентности (п. 2), важны и в других более трудных и более развитых разделах теории чисел. Изучение квадратичных форм естественно вводит в круг этих идей и дает возможность познакомиться с ними в контексте, где они воспринимаются наиболее легко.

2. Эквивалентные формы. Фундаментальным понятием, связанным с квадратичными формами (а также с другими формами), является понятие эквивалентности. Сразу же видно, что две формы 2х + Зу и Зх + 2у по существу, одинаковы; одна получается из другой перестановкой переменных. Не столь ясно, что форма 2х + Аху + бу, по существу, совпадает с предыдущими формами. Эту форму можно представить в виде

2{x + yf + 3y\

Когда переменные х и у принимают целые значения, х + у и у принимают целые значения, и наоборот. Ясно, что всякое свойство достаточно общей природы, которым обладает форма 2х + + 3?/2, является также свойством формы 2{х + у)+ 3у, и обратно. В частности, это верно для свойств, связанных с представимостью чисел этими формами: если известны представления числа одной из форм, то сразу же можно найти представления этого числа и другой формой. Рассматриваемые формы связаны очень простой подстановкой: если положить х = X + Y и у = У,то

2х + Зу = 2Х + 4XY + 5У\

Эта подстановка обладает следующим свойством: если х и у принимают целые значения, то X и¥ также принимают целые значения, и обратно.

Рассмотрим теперь общий вопрос о том, какие подстановки вида

x=pX + qY, y = rX + sY (1)

обладают этим свойством, т. е. устанавливают одно однозначное соответствие между всеми парами целых х, у и всеми

парами целых X, Y? Мы заранее не накладываем никакого ограничения на коэффициенты р, q, г, s, хотя, конечно, ясно, что они должны быть целыми, так как значения х = р, у = г соответствуют значениям X = 1, У = О, а значения х = q, у = s соответствуют значениям X = О, У = 1. Если все четыре коэффициента целые, то целым значениям X и У отвечают целые значения х и у.

Мы хотим, чтобы было верно и обратное. Для выяснения, когда это будет выполняться, нужно выразить X иУ через х и у. Если умножить первое равенство на s, а второе на g и вычесть одно из другого, то получится

SX - qy = (ps - qr)X,

аналогично

-rx + ру = (ps - qr)y.

Число ps - qr не может равняться О, так как иначе sx - qy и -rx + ру также всегда равнялись бы О и переменные х и у яе были бы независимы. Взяв А = ps - qr и разделив оба равенства на А, получим уравнения, выражающие X иУ через х и у:

Х = ±.-1у, Y=-L,ly. (2)

Здесь все четыре коэффициента также должны быть целыми. Это будет, конечно, так, если А = ±1. И обратно, все коэффициенты будут целыми только при А = ±1; действительно, если все четыре коэффициента целые, то целым будет также и число

р S q г А А ~ А А

равное , а это возможно лигпь при А = ±1. Таким образом, все коэффициенты р, q, г, s подстановки должны быть целыми и число ps - qr должно равняться ±1; тогда и только тогда подстановка обладает требуемым свойством, т. е. сопоставляет целым парам х, у целые пары X, F и наоборот.

Выражение ps - qr называется определителем подстановки. Чтобы не осложнять дальнейгпую теорию, будем использовать подстановки только с определителем 1 и не будем использовать

подстановок с определителем -1. Подстановка вида (1) с целыми коэффициентами и определителем, равным 1, называется унимодулярной подстановкой.

Две формы, связанные унимодулярной подстановкой, называются эквивалентными. Например, мы видели, что форму 2х + Зу можно преобразовать в форму 2Х + 4XY + подстановкой

x = X + Y, y = Y; эта подстановка унимодулярна, значит, указанные формы эквивалентны. Не фиксируя буквы для обозначения переменных и изменяя их при каждой подстановке, удобно обозначать квадратичную форму ах + Ьху + с?/2 через (а, 6, с) и символически выражать эквивалентность двух форм так:

(2,0,3)-(2,4,5).

Исходный пример (2,0,3) - (3,0,2) требует пояснения. Подстановка, переставляющая переменные, т. е. подстановка х = Y у = Х согласно предыдущему определению не является унимодулярной, ибо ее определитель равен -1. Вместо нее, однако, можно использовать подстановку х = Y у = -X, являющуюся унимодулярной и преобразующую (2,0,3) в (3,0,2). Примененная к общей форме, эта подстановка дает

(а, 6, с) - (с,-6, а). (3)

Используя термин «эквивалентность», мы предполагаем, что отношение эквивалентности двух форм обладает некоторыми простыми свойствами; если это не так, то использование такого термина может ввести в заблуждение. Эти свойства таковы: (I) любая форма эквивалентна самой себе; (П) если одна форма эквивалентна другой, то и вторая форма эквивалентна первой; (П1) две формы, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой. Все эти факты сразу же следуют из определения эквивалентности форм. Во-первых, каждая форма эквивалентна самой себе: эту эквивалентность осуществляет тождественная подстановка х - Х.,у - Y. Во-вторых, если одна форма переводится в другую подстановкой (1), то вторая форма преобразуется в первую обратной подстановкой (2), где А = 1. Наконец, третье утверждение следует из того факта, что две унимодулярные