четно, откуда 6 = 0. Далее, 4ас = 4, поэтому а = с = 1. Здесь имеется только одна приведенная форма (1,0,1). Это первый пример п. 5.

Рассмотрим теперь второй пример п. 5; предположим, что d = -7 и, значит, D = 7. Тогда 6 у, кроме того, 6 нечетно, значит, 6 = 1 или -1. Далее, Аас =1 + 7 = 8, откуда а = 1, с = = 2. Возможность 6 = - 1 должна быть отброшена, так как она не согласуется с (14). Таким образом, в этом случае мы имеем единственную форму (1,1,2).

Действуя подобным образом, легко составить таблицу приведенных форм. В таблицу II входят формы с дискриминантами от -3 до -83. Знаком * отмечены так называемые имприми-тивные формы - это формы, у которых коэффициенты а, 6, с имеют отличный от 1 обгций делитель. Импримитивная форма равна точному кратному некоторой примитивной формы меньшего дискриминанта.

Приведенные формы данного дискриминанта образуют систему представителей форм этого дискриминанта; эта система представителей содержит по одной форме из каждого класса эквивалентных форм. Теория п. 4 указывает необходимое и достаточное условие собственной представимости числа хотя бы одной из этих приведенных форм; это и есть тот результат, о котором говорилось в п. 1. В тех случаях, когда суш;ествует только одна приведенная форма, проблема представления решается полностью. Единственной приведенной формой в этом случае является главная форма, так как она удовлетворяет условиям (14).

Иногда удается решить проблему представления и в тех случаях, когда имеется больше одной приведенной формы. Рассмотрим первый (исключая импримитивные формы) из таких случаев, именно случай d = -15. Здесь имеются две приведенные формы: (1,1,4) и (2,1,2). Пусть п представляется первой из них; тогда

An = {2х + yf + 15у = {2х + yf (mod 15). Если п не делится на 15, то легко установить, что п сравнимо с одним из чисел 1, 4, 6, 9, 10 по mod 15. Аналогично, если п представляется второй формой, находим, что п сравнимо с одним из

Таблица II

Приведенные положительно определенные формы дискриминанта -D

чисел 2, 3, 5, 8, 12 по mod 15. Поэтому можно легко отличить числа, представимые первой формой, от чисел, представимых второй формой, исключая, возможно, числа, кратные 15. Чтобы выразить это различие, Гаусс ввел понятие рода; о двух только что рассмотренных формах говорят, что они принадлежат разным родам. Теория родов, однако, слишком сложна и обширна, чтобы излагать ее здесь.

Указанная возможность различать числа, представляемые двумя различными приведенными формами, обеспечивалась су-ш;ествованием такого модуля (в рассмотренном случае 15), для которого числа, представимые двумя разными формами, удовлетворяют разным сравнениям по этому модулю. Когда такого модуля нет (что иногда бывает), задача представления конкретной формой, по сугцеству, егце не решена. Мы можем, например, найти условие представимости числа одной из форм + ЪЪу и Ъх + lli/, но нам не известно никакого простого обш;его правила, решаюш;его вопрос, для какой из этих форм осуш;ествляется представление.

8. Число представлений. Теория п. 4 дает необходимое и достаточное условие собственной представимости числа одной из форм дискриминанта d; это условие состоит в разрешимости сравнения (8). Можно сделать следуюгций шаг и перейти к определению полного числа собственных представлений п всеми приведенными формами дискриминанта d. Обозначим это число через R{n). Если суш;ествует лишь одна приведенная форма дискриминанта d (например, х + при d = -4), то мы получим в результате число представлений этой формой.

Мы наметим здесь теорию, с помош;ью которой определяется R{n)] детали доказательства нам придется опустить. Предположим для простоты, что п взаимно просто с d. Из этого, в частности, следует, что любая форма дискриминанта пред-ставляюш;ая п, примитивна, так как обш;ий множитель а, 6, с делит и п, и

Начнем с тех же рассмотрений, что и в п. 4. Мы видели, что каждому собственному представлению п формой (а, 6, с), скажем

п = ар + Ьрг + сг, (16)