Android-приложение для поиска дешевых авиабилетов: play.google.com
Главная -> Высшая арифметика

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57

УРАВНЕНИЕ + = + 167

Возвращаясь к z w и отбрасывая их общий знаменатель, получаем

x = l-{p-3q){p + 3q), y = -l + {p + 3q){p + 3q), z=p + 3q-{p + 3q)\ w = -{p-3q) + {p + 3qf.

Это и есть формулы Эйлера и Вине. Для любых рациональных чисел р и q эти формулы дают рациональные значения х 2/, z удовлетворяющие уравнению (15); наше доказательство показывает, что верно и обратное: каждое рациональное решение (15) пропорционально решению, получаемому по этим формулам.

Если, в частности, придавать р и q целые значения, мы получим целые решения (15), но нет оснований считать, что так можно получить любое целое решение. Одно частное решение получается при р = 1, g = 1; это решение х = 9 у = 15 z = -12, W = 18 приводит к любопытному тождеству: 3 + 4 + 5 = 6. Значения р = 4 q = 1 отвечают равенству

3 + 60 = 22 + 591

Простейшее решение (15) с положительными х у z w есть

l3 + = 9 + 10\

На самом деле число 1729 - наименьшее из целых чисел, пред-ставимых суммой двух положительных целых кубов двумя различными способами Ч

Интересное тождество, на которое обратил внимание в 1936 году К. Малер, получается при р = 3; тогда

х = 1 y = -l + 72q\ z = 6q-UAq\ w = UAq\

Полагая 2q = t, получим тождество

{l-9tY + {3t-9ty + {9ty = l.

Оно интересно тем, что показывает, как можно представить число 1 бесконечным числом способов в виде суммы трех це-

Навестив больного Рамануджана, лежавшего в Патней (Putney), Хар-ди между прочим сказал ему, что приехал на такси № 1729 и что это число, как ему кажется, выделяется каким-то специальным свойством. Раману-джан тут же указал это свойство.



лых кубов. Аналогичное тождество имеет место для числа 2. Мне неизвестно какое бы то ни было тождество, устанавливающее представимость числа 3 в виде суммы трех целых кубов бесконечно многими способами.

Упомянем здесь еще об одной нерешенной задаче. Не каждое число представимо в виде суммы трех целых кубов; в самом деле, ни одно число, сравнимое с 4 или 5 по mod 9, нельзя представить таким образом. Действительно, легко видеть, что любой куб сравним с О, 1 или -1 по модулю 9 и, следовательно, сумма любых трех кубов должна быть сравнима с О, ±1, ±2 или ±3 по mod 9 и не может быть сравнима с ±4. Спрашивается, каждое ли число представимо в виде суммы четырех целых кубов? Несмотря на многочисленные попытки, эта задача до сих пор не решена.

Существует очень простой способ представления любого числа в виде суммы пяти целых кубов. Имеем

{х + If + {х- If + {-xf + {-xf = 6х.

Значит, каждое кратное 6 представляется в виде суммы четырех целых кубов. Кроме того, любое число можно привести к кратному 6, вычтя из него подходящий куб. В самом деле, легко видеть, что п - всегда делится на 6. Это дает результат, который впервые, по-видимому, доказал Ольтрамаре (Oltramare) в 1894 году.

6. Теорема Туэ-Зигеля-Рота. Многие современные исследования диофантовых уравнений основаны на методе, впервые примененном норвежским математиком Акселем Туэ в 1908 году. Этот метод связан с рассмотрением рациональных приближений алгебраического числа; мы поясним, о чем идет речь.

Пусть f[x, у) - какая-либо однородная форма от х ж у степени п, скажем

f{x, у) = аох"" + aix-y + ... + an-ixy"" + апУ"",

где ао, ai, ..., а - целые и п не меньше 3. Предположим, что эта форма неприводима, т. е. не может быть представлена в виде



6] ТЕОРЕМА ТУЭ-ЗИГЕЛЯ-РОТА 169

произведения двух форм с рациональными коэффициентами *1 В силу так называемой основной теоремы алгебры эту форму можно разложить на множители следующим образом:

f{x,y) = ао{х- в1у){х - в2у) ...{х- впу),

где Oi .. On - иррациональные числа, действительные или комплексные. Эти числа являются корнями неприводимого алгебраического уравнения

аоГ + ai- + ,,, + ап = 0

и называются алгебраическими числами степени п.

При любых целых х и у полином f{xy) является целым числом. Значит, если х и у ие равны нулю одновременно, то

\ао{х - 9iy){x - в2у) ...{х - впу)\ 1.

Предположим, что есть рациональное приближение к 9i и у - большое положительное число. Тогда все множители X - 2?/, ... меньше (по модулю) некоторого постоянного кратного откуда, разделив на у получим

> -. (19)

где К - положительная постоянная, зависящая от коэффициентов формы /. Таким образом, алгебраическое число степени п не может обладать последовательностью рациональных приближений, сходящихся к нему слишком быстро. Этот результат установил в 1844 году Лиувилль, что дало ему возможность построить числа, не являющиеся алгебраическими.

Туэ длинным и трудным способом доказал, что имеет место более сильное неравенство, именно:

--Ог >- (20)

для всех, кроме конечного числа, рациональных приближений к 1, где 1у - любое число, большее п + 1. Число n+l умень-

*) Здесь не важно, будем ли мы считать коэффициенты полиномов, участвующих в разложении, рациональными или целыми, так как можно доказать, что если имеется разложение на множители с рациональными коэффициентами, то имеется и разложение с целыми коэффициентами.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57



0.0105
Яндекс.Метрика