шено в 1921 году Зигелем до 2/п, а в 1947 году Дайсон (Dyson) уменьшил это число до \fbi.

В 1955 году Рот доказал замечательную теорему о том, что если V - какое-нибудь число, большее 2, то неравенство (20) имеет место для всех, кроме конечного числа, рациональных приближений вх. Это наилучший из возможных результатов такого рода, ибо, как мы видели в (IV, 7), неравенство - - <\ всегда имеет бесконечно много решений, если вх ир-

рациональное (безразлично, алгебраическое или трансцендентное). Доказательство Рота является, конечно, очень трудным.

Неравенство (20) дает нижнюю границу для значения формы f{x,y). Если X, у - любые большие целые числа, для которых число \f{x,y)\ мало по сравнению с \у\, то должно быть рациональным приближением к одному из корней 9i, ..., вп- Предположим, не нарушая обш;ности, что является приближением к i; из (20) тогда следует неравенство

\f{x,y)\>K,y-\

где Ki - некоторая положительная постоянная. В качестве v по теореме Рота можно взять любое число, большее 2. Поэтому любое диофантово уравнение, из которого следует, что f{x,y) меньше определенной степени \у\, может иметь лишь конечное число решений. Пусть, в частности, д{х,у) - полином, быть может, неоднородный, в котором каждый член имеет степень меньшую, чем п - 2, Тогда уравнение

f{x,y) = д{х,у)

имеет конечное число решений. Например, это утверждение верно, если д{х,у) является константой. Суш;ественно, конечно, что п должно быть не меньше 3: как известно, уравнение Пелля х - Ny = 1 степени 2 имеет бесконечно много решений.

В качестве примера можно рассмотреть любое уравнение вида

ах" + Ьху + сху + dxy + fy" = кх + ly + т.

Если левая часть неприводима, то это уравнение имеет только конечное число решений. Действительно, правая часть равенства степени 1, и 1 < п - 2 при п = 4.

ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VH 171

Метод Туэ - Зигеля - Рота обладает одной особенностью. Устанавливая, что различные типы уравнений от двух переменных имеют лишь конечное число решений, он не дает каких-либо промежутков для х и в которых решений нет. Причина этого недостатка метода в том, что он основан на рассмотрении двух или более предполагаемых приближений к алгебраическому числу. Противоречие получается, если все они «слишком хороши». Поэтому, вообгце говоря, можно указать пределы (в каждом конкретном случае), в которых уравнение имеет не более одного решения или не более заданного числа решений, но не пределы, в которых уравнение не имеет решений.

Замечания к главе VII. п. 3. Об уравнении ах + Ьу = cz см. также L. J. Mordell, Monatshefte fur Math., 55 (1951), 323-327.

Имеется теорема Диксона, устанавливаюгцая, что если уравнение аж + = cz разрешимо (а, 6, с свободны от квадратов и попарно взаимно просты), то форма аж + Ьу - cz представляет все целые числа. Таким образом, из указанного в тексте примера следует, что любое число представимо формой 4\х + 31 - .

Интересный обзор различных методов исследования уравнения у2 = можно найти в книге L. J. Mordeh, А chapter in the theory

of numbers, Cambridge, 1921.

П. 5. Cm. C, vol. П, ch. 21) и К. Mahler, J. London Math. Soc, 11 (1936), 136-138.

О случае с Рамануджаном см. записки Харди в Collected Papers of S. Ramanujan (Cambridge, 1927) или Proc. London Math. Soc. (2), 19 (1921). О проблеме четырех кубов см. Н. W. Richmond, Messenger of Math., 51 (1922), 177-186 и L. J. Mordeh, J. London Math. Soc, 11 (1936), 208-218.

П. 6. Теорема Рота была опубликована в Mathematika, 2 (1955), 1-20 (с исправлением на стр. 168). Немного другие формы доказательства приводятся в книгах: Cassels, Introduction to Diophantine Approximation (Cambridge Math. Tracts № 45, 1957), (°, vol. II) и Schneider, Einfuhrung in die transzendenten Zahlen (Springer, 1957).

БИБЛИОГРАФИЯ

Этот список содержит перечень книг по обгцей теории чисел. Ссылки на работы по специальным областям предмета имеются в замечаниях, приведенных в конце каждой главы.

На русском языке

(i) Б. А. Венков, Элементарная теория чисел, М. - Л., 1937. () И. М. Виноградов, Основы теории чисел, М., «Наука», 1965. () П. Г. Л ежен-Дирихле, Лекции по теории чисел, М. - Л., 1936. () Г. Хассе, Лекции по теории чисел, М., ИЛ, 1953.

() А. О. Гельфонд, Ю. В. Линник, Элементарные методы в аналитической теории чисел, М., Физматгиз, 1962.

На английском языке

() L. Е. Dickson, Introduction to the Theory of Numbers (Chicago

University Press, 1929). () L. E. Dickson, History oi the Theory of Numbers (Carnegie Institute,

Washington; vol. I, 1919; vol. II, 1920; vol. Ill, 1923). () L. E. Dickson, Modern Elementary Theory of Numbers (Chicago

University Press, 1939). (9) G. H. Hardy and E. M. Wright, Introduction to the Theory of

Numbers (Clarendon Press, Oxford, 4th ed., 1960). (1) W. J. LeVeque, Topics in Number Theory (2 vols. Addison-Wesley,

Reading, Mass., 1956).

(ii) G. B. Mathews, Theory of Numbers (Deighton ВеП, Cambridge, 1892; Part I only published).

(1) T. Nageh, Introduction to Number Theory (John Wiley, New York, 1951).

(1) O. Ore, Number Theory and its History (McGraw-Hill, New York, 1948).

(1) J. V. Uspensky and M. A. Heaslet, Elementary Number Theory (McGraw-Hih, New York, 1939).

*) Список книг на русском языке добавлен мною. {Прим. перев.)