функции чувствительности передаточных функций. Функция относительной чувствительности передаточной функции системы Ф (р, д) к вариации параметра qi, принадлежащего элементу с передаточной функцией W{ {р, qi), определяется выражением

(5.3)

Sl{p) = S%{p)Sli{p),

S% (р) = (Р> я)

d\nWi{p,q) dWi{p,q)

t(P. gfo) *i=i(PW Ф(Р. яю)

д In qi

(5.4) (5.5)

Для расчета функций чувствительности Sf. (р) целесообразно

использовать сигнальные графы, что позволяет облегчить нахождение вида ФОЧ.

Передаточная функция графа определяется формулой Мэзона [57]

ф(р)=~

где А (р) - определитель графа, равный

(5.6)

4p)--i:Li{p)\-::i:Liip)Lj{p)->i:Li{p)Ljip)LAp)-\-. . .;

2 Li (р) - сумма передаточных функций всех контуров; 2Li (р) Lj (р)-сумма произведений передаточных функций двух некасающихся контуров и т. д.; (р) - передаточная функция г-го пути графа; Ai (р) - минор определителя г-го пути, т. е. определитель графа, из которого исключен i-й путь.

Функция относительной чувствительности S%. (р) может быть определена как

wAP)=-л , , - л / N (5-7)

Де (р) Д (р)

где Ац.(р), [А (р) получаются соответственно из А (р) и А (р) =

= 2-Pt (Р) » (Р) исключением членов, не содержащих Wi (р).

Учитывая линейность выражений, входящих в формулу (5.7), последнюю можно преобразовать к виду

S,{p)==~

Д (Р)

As(P)

(5.8)

где А (р) и {p) получаются соответственно из А (р) и А (р) =

= 2jPi (Р) Af-(P) исключением членов, содержащих Wiip).

В частности, выражение (5.8) при одном пути передачи воздействия Piip) можно упростить [53]:

5Др) =

А(Р)

+5;i.(p)

Ai(P)

(5.9)

• dlnWiip) \ о, если Wi Pi.

В формулу (5.3) входит функция относительной чувствительности передаточной функции типового звена по его параметру

5(р). Выражения для некоторых функций чувствительности

Sjjip) приведены в табл. 5.1.

Передаточная функция в табл. 5.1, п. 7 принадлежит не типовому звену - ею описывается активный режекторный фильтр, находящий применение в СЭП с упругими связями.

Относительное дополнительное движение системы, вызванное изменением параметра qi, можно определить по выражению, аналогичному (5.1):

Ау(р)

Vo(p)

(5.10)

При замене р = усо в (5.3) можно получить амплитудно-частотную характеристику функции относительной чувствительности. Для минимально-фазовых систем при анализе точности можно ограничиться рассмотрением модуля mod Sj.(/a)) [57].

Из проведенного анализа характеристик чувствительности можно заключить, что на этапе первичного проектирования АСР целесообразно использовать функции относительной чувствительности передаточных функций системы, так как это предполагает возможность автоматизации процесса вычисления на ЭВМ.

5.3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

СИСТЕМ ЭЛЕКТРОПРИВОДА НА ЦВМ

Использование методов теории чувствительности для анализа систем электропривода высокого порядка затруднительно в связи со сложностью определения функций чувствительности. Поэтому разработка эффективных алгоритмов расчета на ЦВМ функций чувствительности является актуальной задачей.

Анализ различных характеристик чувствительности, выполненный в предыдущем параграфе, показал целесообразность использования для оценки чувствительности СЭП функций относительной чувствительности передаточных функций (ФОЧ), для

7 Заказ № 24

Таблица 5.1

№ Передаточная

пп. функция W (р)

Параметр

Тр Ч- I

Т2ра 21Тр + 1

тр+ 1

ЯР -г *4

р+со

функция чувствительности

Sf (р) = 1

sf (р) = 1

sr (р) = -

Тр+1

s?;,(p)-

sf (р) =

Пр+1

Тф ТгР+\

Sf{P) = l

(р) - -

SfiP)

2ГУ + 21Тр Тр + 2Тр + 1 2Тр

Sj (р) - - 1

S7 (р) =

тр+ 1

sj (Р) =

(9р2 + ш2) (р2+0)ор/Р+ £05

(mIp/q Ч- 2ир (1 - <7) - tUQP/Q (P + й§) (рЧиор/(? + со2

расчета которых можно применять методы, оснонаммые мп использовании сигнальных графов.

Функция относительной чувствительности 0П1еделяется li l-o-ответствии с формулой (5.8) выражением

5(Р)-

Д (р)

А(р)

а2:(р)

Af4P) Д(р)

(Г).11)

а»Чр)Д2(р)~ДТ(р)Д(р) =-Д1(Г-

ределителя, вид которого зависит от расположения звена с передаточной функцией wi (р) на графе системы.

Определитель графа Д (р) и приведенный минор определителя {p) можно представить в виде отношения полиномов, например

приведенный минор он-

Д(р) =

Unp-Un-iP

Д-1 и

flip + 0

6p" + 6m-lp"--+ . . +61Р + 60

(5.12)

где коэффициенты щ, bi являются функцией параметров системы.

Использование выражения (5.12) для расчета модуля определителя затруднительно из-за сложности вычисления коэффициентов Ui, bi и необходимости возведения (о в высокие степени, что может привести к переполнению разрядной сетки ЭВМ. Поэтому предлагается иной подход к расчету амплитудно-частотной характеристики ФОЧ, при котором каждое слагаемое, входящее в выражения для Д(/со) и Д*(/(й), ДОк») и аи) представляется в тригонометрическом виде, например

Д (/(о) = 1 - X \l, ijoi) I Icos ((,)) I / sin Ф; (g))] -I- . . . ,

где Li(/(o), Фг(с)) - соответственно модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи 1-го контура. Последнее выражение можно записать так;

(/ш} = Л(о))4-/5 (о)),

li (/с) I cos (со) + .

(t) - Z \ ih) I sin Фг (to) + . . . . 1=1

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика ФОЧ

(5.13)

modAf(/(u)

(«) -/л,. , modsj(/со),

k mod Д (/CD) Qk

где mod 4/(0)

модуль функции чувствительности типового

звена по параметру qk-7*

187-

Выражение (5.13) положено в основу алгоритма, который был реализован на малой ЦВМ для исследования систем подчиненного регулирования с жесткой механической передачей.

Недостатком данного способа является значительный объем ручной работы по нахождению определителя графа, вида функций чувствительности по всем оцениваемым параметрам и приведенных миноров функций чувствительности. Однако, учитывая возможность его реализации на малых ЭВМ (типа «Мир», «Наири»), этот способ можно рекомендовать для исследования СЭП с числом контуров, не превышающем 5-6.

Большой универсальностью и меньшей затратой ручной работы при подготовке задачи обладает предлагаемый ниже способ вычисления ФОЧ, основанный на тополого-матричном представлении исследуемой системы. Этот способ исключает ошибки, связанные с определением числа контуров и оценкой их касания, а также с определением выражений для ФОЧ [9].

Предположим, что система описывается матричным дифференциальным уравнением

A(p)x = f, (5.14)

где А (р) - квадратная матрица, отражающая топологию системы; X, f - векторы обобщенных координат и внешних воздействий соответственно.

Передаточная функция от 1-то воздействия к т-й координате определяется выражением

- tap) detA(p)

(5.15)

где - адъюнкта элемента а/ определителя матрицы А (р).

Учитывая, что в выражения для определителя и адъюнкты передаточная функция wn ip), функция чувствительности которой к вариации параметров оценивается, входит линейно, можно выделить совокупность членов, не содержащих передаточной функции

wn (р); обозначим их det А"(р) и А" (р). Тогда функцию относительной чувствительности передаточной функции можно представить так:

(Р) =

det А" (р)

detA(p) AimiP)

(5.16)

Для определения АЧХ функций относительной чувствитель-;Яости по параметру принадлежащему передаточной функции wn ip), можно записать

S/m (/со) = mod stim (/to) mod «(/to). (5.17)

Выражения (5.16) и (5.17) положены в основу алгоритма вычисления АХЧ функций относительной чувствительности (рис. 5.1).

Следует заметить, что рассматриваемые АЧХ функций относительной чувствительности можно определить экспериментально, снимая частотные характеристики в соответствующих точках чувствительности системы.

(начала

Ввод пара- 1 метров СЗП

/Ввод списка i перед, сруииций/

/ввод 1,т I

Обнуление массивов

iV=(JOo

Формирование матрицы

Формирование матрицы

Br=detAi

Формирование матрицы

Формирование матрицы

дг - det А

B,:-detAl

B5=Sn(J<> 3 В

В, до"

Sqj(a>)-mod(BsB6)

Вывод О),

------<ша)

Q К о ней.

Рис. 5.1. Структурная схема а,ягорптма оценки чувстпитсльиостп СЭП

Кроме алгоритма вычисления АЧХ функций относительной чувствительности, используя выражение (5.16), нетрудно построить алгоритмы расчета других частотных характеристик ФОЧ.

5.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Оценка чувствительности инвариантных СЭП. Оценку чувствительности многоконтурных систем электроприводов, построенных по принципу подчиненного регулирования, целесообразно начать