(2.105)

Важно отметить, что при i/?<Zb первый минимум напряжения от конца линии будет отстоять на расстоянии л;=Л,/2, при >Zb - на расстоянии x=A/4. Это важное свойство может быть использовано для определения величины активного сопротивления, являющегося нагрузкой линии, по расстоянию первого узла напряжения от конца линии и коэффициента бегущей или стоячей волны. При л; = Х/4 /? > Zb и /? = Zb/КБВ = Z КСВН,] при л; = Х/2 /? < Zb и /? = Zb КБВ = ZJKCBH.

Входное сопротивление линии без потерь, нагруженной на сопротивление /?>Zb в точке X, можно определить, если взять отношение Ux к /х. Однако формулу для входного сопротивления можно проще получить из ф-лы (2.97), если к аргументу х прибавить л/2. Тогда получим

= KBBcosp:-fsinp. fKBB - i (1 - КБВ) X Xsinpxcospx]=Bx -iBx- (2.106)

Зависимости /?вх и Хвх от длины линии при КБВ=0,5 показаны на рис. 2.17. Из графиков видно, что при px=0, л, 2л и т. д.

Рис. 2.17. Изменение активной (а) и реактивной (б) составляющих входного сопротивления линии без потерь при нагрузке R>Zs

реактивная составляющая равна нулю, а входное сопротивление чисто активно и равно максимальному значению, т. е. R = /?„акс:

2вх = -вх = ма„с = 2е/КБВ - Z, КСВН.

(2.107)

При рх-л/2{х=к/4), 3 л,/2 (л;=ЗЯ/4) и т. д. входное сопротивление также активно, но равно минимальному значению:

2вх = /?вх = /?„„„ = ZI/R = Zi/R,,,, = Zb КБВ = Zb/KCBH.

(2.108)

Во всех других точках входное сопротивление имеет комплексный характер. Сравнивая рис. 2.7 и 2.17, нетрудно видеть, что характер реактивности соответствует входному сопротивлению разомкнутой линии.

2.8. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ, НАГРУЖЕННАЯ НА КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

В общем случае нагрузкой линии (см. рис. 2.8) может быть комплексное сопротивление Zi=Ri±iXi. При такой нагрузке в линии будут существовать одновременно бегущая и стоячая волны. Подобный режим в линии без потерь имел место при нагрузке ее на активное сопротивление R, неравное волновому сопротивлению Zb. При комплексной нагрузке линии без потерь ее входное сопротивление в точке, удаленной от конца на расстояние х, в соответствии с ф-лами (2.51) и (2.61) будет равно

1-fitgpx

,вх - 1

l-fi-ltgPA-

= Z„

Zi + lZigx

ZBRi + \[{zl - R]-X]]smxcQSx + ZBXi<ios2x\ Z\ cos P Л- -f ( « -t- XJ sirf p Л- - ZXi sin 2p д:

(2.109)

Выражение (2.109) показывает, что Zbx является периодической функцией рх с периодом, равным 180° (что является периодом тангенса рх). Отсюда следует, что удлинение или укорочение линии на полволны или на целое число полуволн не меняет входного сопротивления линии без потерь.

Формулу (2.109) входного сопротивления можно записать в виде входной проводимости, если каждое комплексное сопротивление этой формулы заменить соответствующей проводимостью. После простых алгебраических преобразований получим следующее выражение для полной проводимости линии без потерь:

K;-fiKBtgPA-

Случай комплексной нагрузки линии без потерь можно привести к случаю нагрузки линии на активное сопротивление. Для этого необходимо найти отрезок линии длиной /о с параметрами Zb и р, который, будучи нагруженным на активное сопротивление, давал бы при заданной частоте входное сопротивление, равное сопротивлению нагрузки Zi.

Пх = У.

(2.110)

Используя ф-лу (2.51), можно написать 1 1 г о- i 2 р г,

« i2,i (2.111>

1 г е- 2 Р г.

где Г - коэффициент отражения, являющийся действительной величиной, определяемой по формуле Г=(/?-Zb)/(/? + Zb). Отсюда

(Ri+zb)±iXi-

Для определения величины сопротивления нагрузки R необходимо знать коэффициент отражения Г. Его значение из выражения (2.112) будет равно

(2.113>

(Ri+ZbY+x]

Зная коэффициент отражения, определим коэффициент бегущей волны по формуле

КБВ-(1-Г)/(1-f Г). (2.114).

В случае если комплексная нагрузка Zi имеет индуктивный характер, то величина сопротивления R будет равна /?=Zb=KBB.. При емкостном характере нагрузки Zi величина сопротивления /?=Zb/KBB.

Для определения эквивалентной длины /о следует также использовать выражение (2.112). Обозначая аргументы числителя и знаменателя этого выражения

Ri-Z можно написать

= tga;i.

Ri + Zb

tg(i-2) = tg2p/o =

2ZbXi

-A~zl

(2.115)

(2.116>

Отсюда легко определяется длина /о.

При комплексной нагрузке узлы и пучности напряжения (тока) смещены относительно нагрузки. Величина смещения зависит от соотношения между модулем сопротивления нагрузки и волновым сопротивлением линии и от величины реактивной составляющей, нагрузки.

Смещение узла (пучности) волны напряжения или тока относительно конца линии и коэффициент бегущей волны вполне характеризуют нагрузку и при известных волновом сопротивлении линии и рабочей частоте генератора позволяют определить величину нагрузки. В линии через каждую четверть длины волны можно наблюдать экстремальные значения амплитуды напряжения; (рис. 2.18). Если коэффициент бегущей волны обозначить КБВ, а-длину отрезка линии от выхода линии, где подключено сопротивление нагрузки, до ближайшего (последнего) минимума напряже-76

Рис. 2.18. Распределение напряжения и тока вдоль линии при комплексной нагрузке на конце

I I

г-0-

ния обозначить хо, то искомое сопротивление нагрузки будет равно KBB(l-4-tg2p-„) l-KBB

iBtgpXo

. (2.117)

1 -f KBBMg2p;ro - " i+KBBMgpxo

Сопротивление в точках максимума и минимума напряжения будет чисто активным. В точках максимума напряжения

/? = /„з„е ми„ =/?макс, (2-118)

а в точках минимума напряжения

/? = /мин макс =/?ми„- (2-119)

Мощность Р, поглощаемая нагрузкой, может быть рассчитана по формуле

= сМакс = /2„„ ?Ми„. (2.120)

Из этого выражения получаем, что

(2.121)

t/м.н/макс = VRmmlRKsKC - КБВ

макс/мин = ?макс ?М„„ = КСВН.

(2.122)

Эти соотношения имеют важное практическое значение в технике измерений на радиочастотах.

2.9. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Круговые диаграммы в технике линий передачи высокой частоты имеют важное практическое значение. Они значительно упрощают вычислительную работу и позволяют весьма наглядно представить почти все вопросы при решении задач теории длинных линий и волноводов. Наибольшее практическое значение имеет векторная диаграмма, построенная в плоскости комплексного коэффициента отражения, где осями координат являются действительная и мнимая составляющие коэффициента отражения.

Формулу входного сопротивления линии без потерь в соответствии с выражением (2.51) можно записать так:

Z3x l+rc2 (2.123)

J р g- i 2 р л:

Отношение входного сопротивления к волновому принято на-зьшать нормированным входным сопротивлением иоозначим его

--= -" r„ + iH. (2.124)

1 +Ta-iTb l~Ta-iTb

где Га и Гь - активная и реактивная составляющие коэффициента отражения; Гд и Хв - активная и реактивная составляющие нормированного входного сопротивления.

Из этого выражения следует, что активная и реактивная составляющие нормированного входного сопротивления могут быть выражены через действительную и мнимую составляющие коэффициента отражения. Если в качестве системы координат взять оси Га и Гь, то Гн представится точкой в этой системе координат, а каждому значению Хн будет соответствовать определенная точка в той же системе координат.

Из ур-ния (2.124) легко получить, что

(1-г.)Чг

Выражение (2.125) можно записать так: Преобразуя это выражение, получим

Гн \2 , Т.0 1

+ rf =

(2.125) (2.126)

(2.127 (2.128)

Рис. 2.19. Семейство окружностей Га

= const

Это выражение представляет собой уравнение окружностей в прямоугольной координатной системе Га и Гь с координатами центра [О, r„/(l-f + Гн)]. Радиус окружностей, как видно из выражения (2.128), равен 1/(1-1-Гн). Координаты концов диаметра можно получить, если в ур-нии (2.127) положить Гь = О, и решить получающееся при этом уравнение (Ц-

+ Ги) Т\ - 2ТаГп + Гп -

-il = 0. Решение этого уравнения дает, что Га1 =

= 1, Га2= (Гн-1)/Гн +

-f 1). Отсюда следует, что при всех значениях Гн первый корень равен единице и, следовательно, все окружности касаются точки Го = = 1. На рис. 2.19 показано семейство окружностей, построенных на плоскости комплексного коэффициента отражения при постоянных значениях Гн.

Уравнение (2.126) можно записать следующим образом:

(Гз 1)2 + (Гь - l/xr = l/xl. (2.129)

Это уравнение представляет собой также уравнение семейства окружностей с координатами центра (I, 1/Хи) и радиусами I/Xr. При всех значениях Хв как положительных, так и отрицательных

Рис. 2.20. Семейство окружностей .«н = const

все окружности касаются точки Га= 1. Задавая различные значения дгн, получим новое семейство окружностей (рис. 2.20).

Коэффициент отражения по величине не может быть больше единицы. Поэтому рабочая площадь круговой диаграммы в плоскости комплексного коэффициента отражения ограничивается окружностью, радиус которой равен единице.

Коэффициент отражения на комплексной плоскости отобразится окружностью с радиусом, равным модулю коэффициента отражения.

Рис. 2.21. Семейство окружностей КБВ = const