Таким образом, общая индуктивность коаксиального кабеля L, Г/н, будет 1равна

ЫО"

2л YW

Vlig Pa i УЦЬ Pb

+ 2-10- Ig

Для медных проводников

L = 4,6-10- Ig -

1,332-10

(3.39)

(3,40)

Второй член этой формулы при высоких частотах практически очень мал, и им можно пренебречь по сравнению с первым. Поэтому индуктивность коаксиального кабеля практически равна его внешней индуктивности, и ее можно рассчитывать по формуле

L = 4,6.10- lg-~.

(3.41)

Параметры G и С определяются из выражения для полной (комплексной) проводимости изоляции коаксиальной цепи Y, представляющей собой отношение тока утечки, протекающего через диэлектрик от внутреннего проводника к внешнему, к напряжению между проводниками. Можно показать [1], что

" 4-i(oej = G+ioC, (3.42)

D \ рд

где рд - удельное сопротивление диэлектрика; 8 -комплексная диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Подставляя в эту формулу значение е из выражения (1.15), получаем

G I 1шС- l/Pfl+Big+ig" In D/d

Отделив действительную часть от мнимой, получим следующее выражение для С и G;

2лга 2лгае

(3.43)

С = G =

In D/d 2л

In D/d + (uCtg6.

(3.45)

Рд In D/d

Имея ввиду, что 8o=eoe, a eo= 10-/36л;, Ф,/м, определим С, Ф/м:

е-10

е-10

24,1-10~е

18 1п

41.4Ig

(3.46)

d ° d "° d

где e - относительная диэлектрическая проницаемость материала изоляции.

Первый член ф-лы (3.45) представляет собой проводимость изоляции при постоянном токе, а второй член учитывает потери мощности в диэлектрике при переменном токе. В практических конструкциях первый член очень мал по сравнению со вторым, и им обычно пренебрегают. Тогда расчет проводимости изоляции G, См/м, можно производить по формуле

C = (oCtg6 (3.47)

(С выражена в фарадах на метр).

3.3. ВТОРИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОАКСИАЛЬНОГО КАБЕЛЯ

Вторичными параметрами коаксиального кабеля являются: коэффициент распространения у, волновое сопротивление Zb, коэффициент затухания а и коэффициент фазы р.

Вторичные параметры кабеля определяются через его первичные параметры R. L, С а G. Рассматриваемый идеализированный коаксиальный кабель является однородной линией передачи. Поэтому его коэффициент распространения определяется по ф-ле (2.7)

(3.48)

Коэффициент распространения волны - комплексная величина. Его вещественной частью является коэффициент затухания а, характеризующий рассеяние энергии при распространении электромагнитной волны вдоль кабеля. Мнимой частью является коэффициент фазы р, характеризующий изменение фаз векторов напряжения и тока при распространении электромагнитной волны вдоль линии.

При высоких частотах (выше 60 кГц) .можно использовать выражение (2.23) и (2.24) и тогда

(3.49)

Волновое сопротивление коаксиального кабеля как однородной линии передачи определяется по ф-ле (2.20):

-f-imZ. -t- iwC

(3.50)

Отсюда видно, что волновое сопротивление - комплексная величина. Для радиочастотных кабелей (т. е. при высоких частотах) i?<C(i>Z,, G-CwC, поэтому

Ze = YL/C.

(3.51)

Следовательно, при высоких частотах волновое сопротивление коаксиального кабеля является активным. Подставив в эту формулу значения L и С из ф-л (3.38) и (3.44), получим

У ее d - d VT d

(3.52)

Ye d V7

(Ib выражена в омах).

Коэффициент затухания коаксиального кабеля, как следует из ф-л (2.19) и (3.44), равен

«=-i-/f+4/¥-+- (3-М)

Подставив в эту формулу соответствующие значения, получим

" = В/а° ( "У" + -) +J4.4-10- а> Velgfi

(3.54)

<а, дБ/м; /, Гц; ра и рь, Ом-мм/м; Dud, мм). Произведя вычисление, находим

« = lg°o/Г~ + + 9.08.10-« /yetg6,

(3.55)

Из этой формулы видно, что коэффициент затухания коаксиального кабеля определяется двумя слагаемыми. Первое слагаемое в основном зависит от размеров и свойств внутреннего и внешнего проводников, а второе - от свойств проводников не зависит и определяется свойствами изоляционного материала кабеля В этой связи первое слагаемое иногда называют коэффициентом затухания в металле и обозначают Ол, а второе - коэффициентом затухания в диэлектрике и обозначают ао- Это деление является, конечно, условным, так как в кабеле происходит единый процесс уменьшения электромагнитной энергии при распространении по нему сигналов. Из ур-ния (3.49) можно написать выражения для ал и og:

«7? =

1,98.10

IgD/d

i \ d D 1

a„ = 9,08-10-VV"etg6.

(3.56) (3.57)

Если внешний и внутренний проводники кабеля медные <Ив=(Хб=1, ро=рб=0,0175 Om-mmVm), то можно написать

2,6.10~ /е/

1 1

(3.58)

Коэффициент фазы коаксиального кабеля р, как следует из ф-лы (3.44), определяется по формуле

Р = (й1/1С. (3.59)

Подставляя в эту формулу значения L и С из выражений (3.35) и (3.40), получаем

Р = (йКноНдЕо Е. (3.60)

Подставляя сюда (го=4я.10- Г/м, (гд=1, ео= 1/36я. 10-, Ф/м, можно написать

Р = 2/Зл.10-Кё (3.61)

(р выражена в радианах на метр).

Из этой формулы видно, что коэффициент фазы зависит только от качества диэлектрика и имеет линейную частотную зависимость. Следовательно, идеализированный коаксиальный кабель при высоких частотах не вносит фазовых искажений.

Фазовая скорость v, км/с, для однородных линий, какой является идеализированный коаксиальный кабель, связана следующей зависимостью с коэффициентом фазы:

и = (й/р = 1 /KZC = 300 OOOlV. (3.62)

Отсюда следует, что в области высоких частот фазовая скорость в идеализированном коаксиальном кабеле постоянна и меньше скорости света в К е раз.

Коэффициент сдвига фаз определяет длину распространяющейся электромагнитной волны Кк. км, в кабеле:

= 2я/р = vff = 300 ООО УГ. (3.63)

В технике радиочастотных кабелей для оценки явления распространения электромагнитной энергии часто используется понятие коэффициента укорочения длины волны. Коэффициент укорочения длины волны характеризует уменьшение скорости распространения электромагнитной энергии в кабеле по сравнению со скоростью распространения энергии в свободном пространстве (воздухе)

I = с/у = cVLC, (3.64)

где с - скорость распространения волн в свободном пространстве, равная скорости света 3-10 м/с.

Формулу (3.64) можно записать иначе:

1 = К/К,, % = clf, X=\I!VLC, (3.65)

где X - длина волны в свободном пространстве; Я„ - длина волны в кабеле.

Для характеристики распространения электромагнитной энергии в кабеле можно пользоваться также отношением скоростей распространения электромагнитных волн в кабеле и в свободном пространстве, т. е. величиной, обратной коэффициенту укорочения длины волны.

3.4. ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОАКСИАЛЬНОГО КАБЕЛЯ И ВЫБОР ВЕЛИЧИНЫ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

При конструировании радиочастотных кабелей всегда стремятся получить оптимальную конструкцию, обеспечивающую наилучшие электрические характеристики при наименьшем расходе проводящих и изоляционных материалов.

Анализ ф-лы (3.55) показывает, что при заданном значении внутреннего диаметра внешнего проводника D существует минимальное значение коэффициента затухания кабеля в зависимости от отношения Djd. Можно показать, что минимум коэффициента затухания в кабеле будет при выполнении следующего равенства:

lnD/d= \+dlD = 1 +dlDg,

Кра Al J,a jio

(3.66)

(3.67)

800 700 600 500 л,дО 300 200 100

8s,дБ

Ki - коэффициент, представляющий собой отношение сопротивления проводника из стренги к сопротивлению эквивалентного цилиндрического проводника; К2 - коэффициент, представляющий

собой отношение сопротивления внешнего проводника из оплетки к сопротивлению эквивалентной цилиндрической трубки; Кр - коэффициент, представляющий собой отношение сопротивления проводника кабеля при наличии покрытия к сопротивлению проводника без покрытия при одних и тех же габаритных размерах.

Эти формулы дают возможность определить оптимальные значения отношения D/d при различных материалах и конструкции внутреннего и внешнего проводников. Аналитическое решение ур-иия (3.66) относительно оптимального значения D/d представляет «з-вестные трудности, и практически наиболее приемлемо его графическое решение. На рис. 3.6 дано графическое решение этого уравнения в зависимости от величины g.

Как видно из этого рисунка, при сплошном выполнении внутреннего и внешнего проводников из меди (g=l) оптимальное отношение D/d = 3,59. В табл. 3.1 приведены оптимальные отношения D/d для различных практических случаев выполнения коаксиальных кабелей.

При разработке конструкции коаксиального кабеля необходимо учитывать наличие оптимального соотношения диаметров, "10

О 0,1 0,2 0,3 lit t,MM

Рис. 3.6. Зависимость оптимального отношения диаметров коаксиальных кабелей от материала н конструкции проводников

Таблица 3.1

Оптимальные соотношении диаметров коаксиальных кабелей дли получении минимального затухании

•) Значение Кг принято равным 4, при других значениях Кл получаются иные значения D/d.

обеспечивающего наибольшее пробивное напряжение при заданной величине диаметра внешнего проводника. Если диаметр внутреннего проводника будет принят больше оптимального, то длина диэлектрического пути будет меньше и пробой произойдет быстрее. Если диаметр внутреннего проводника будет принят меньше оптимального, то электрический градиент на его поверхности значительно возрастает, произойдет высокая концентрация потока в этом месте, что вызовет явление короны и возможность пробоя кабеля. Можно просто показать, что напряженность электрического поля на поверхности внутреннего проводника определяется по формуле

а1п6/а -

где и-напряжение между внутренним и внешним проводниками кабеля, а и b - радиусы внутреннего и внешнего проводников соответственно.

Если С/ и b заданы, то ф-ла (3.68) позволяет получить оптимальное значение размеров внутреннего проводника. Дифференцируя Е\ по а, получаем

d£i 1 -1п6/а da а In Ыа

(3.69)

Отсюда оптимальное отношение для получения минимальной напряженности на поверхности внутреннего проводника получается из уравнения 1 - 1п fe/a = О и будет равно fe/a = D/d=e=2,718 «2,72.