дх dt

(2.2)

Знак «минус» перед производными в левой части уравнений означает, что напряжение и ток с возрастанием х уменьшаются. При написании этих уравнений изменением величины тока на входе и выходе элемента длины линии dx и изменением напряжения вдоль элемента пренебрегали как величинами второго порядка малости. Уравнения (2.1) и (2.2) называют телеграфными уравнениями, что объясняется исторически первым применением ли-• НИИ для передачи телеграфных сигналов.

Следует отметить, что телеграфные уравнения можно получить, используя основные уравнения электродинамики [9]. При этом необходимо прибавлять только предположение о локальном характере магнитного и электрического полей. Пределом применимости телеграфных уравнений является условие, при котором длина волны в окружающем пространстве становится соизмеримой с поперечными размерами линии. Иначе говоря, телеграфные уравнения нельзя применять, когда линия начинает заметно излучать электромагнитную энергию.

Решение телеграфных уравнений для сигнала произвольной формы представляет собой весьма сложную, хотя и разрешимую принципиально задачу. Однако решение их значительно упрощается в случае установившегося режима и гармонических колебаний, обычно передаваемых по линии, когда заранее известен закон изменения напряжений и токов во времени в любой точке линии. Из телеграфных уравнений определяется лишь закон изменения амплитуд и начальных фаз колебаний в зависимости от изменения расстояния X. Следовательно, амплитуды и начальные фазы колебаний зависят лишь от одного переменного х и телеграфные уравнения переходят из уравнений в частных производных в обыкновенные дифференциальные уравнения, что и ведет к существенному упрощению их решения.

Если электродвижущая сила источника энергии изменяется по синусоидальному закону (e = £mSino)0, напряжение и ток в линии будут изменяться также по синусоидальному закону. В этом случае телеграфные уравнения можно представить в комплексной форме:

icoL),

-- = f/(G + i(oC),

(2.3) (2.4)

где (j и / - комплексы эффективных значений напряжения и тока в точке, удаленной на расстояние х от начала линии.

Дифференцируя ур-ния (2.3) и (2.4) по х и заменяя в правой

части производные vi ~ их значениями, взятыми из ур-ний

(2.3) и (2.4), получаем 50

dldxyU, d4ldx= у" i.

(2.5) (2.6)

Y = V(/? +icoL)(G +icoC). (2.7)

Решениями дифференциальных уравнений являются следующие функциональные зависимости:

и = Аг

Be

(2.8)

/ = Се- + £>е (2.9)

где А, В, С и £> -постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

Допустим, что в начале линии напряжение и ток имеют значения Оо и /о, тогда при х=0 ур-ния (2.8) и (2.9) принимают вид

Uo=A + B, (2.10)

Io = C+D. (2.11)

Беря производные от выражений (2.8) и (2.9) и подставляя их значения в ур-ния (2.3) и (2.4) при х = 0, получаем

Л -=/о(/?+ i coL) = (С + D)(/? +i(oL), yC - yD = UoiG + ioiL) = (Л+ B)(G + i(oL).

(2.12) (2.13)

Решив совместно полученные четыре уравнения, найдем следующие значения постоянных интегрирования:

А =-п--, D --й-, - оГ . 07

7 -

в- у G+ i (оС

(2.14)

Подставив в выражения (2.8) и (2.9) значения постоянных интегрирования, получим следующие уравнения:

и---2- Т--2

Оо + -Ух Оо - IoZb „у*

- е -

(2.15) (2.16)

Первые слагаемые этих уравнений представляют собой падающие волны напряжения и соответственно тока, а вторые слагаемые-отраженные волны. Для бесконечно длинной линии ур-ния (2.15) и (2.16) можно записать так:

(2.17)

U = Uoe

= /oe

(2.18)

Отсюда легко получить, что отношение между напряжением и током как падающих, так и отраженных волн дает величину Zb, называемую волновым, или характеристическим сопротивлением линии. Таким образом, Zb=U/l. Величину, обратную Zb, часто называют характеристической проводимостью.

С физической точки зрения Zb представляет собой сопротивление, которое встречает электромагнитная волна тока или напряжения при распространении вдоль однородной линии без отражения.

Величины Y и Zb являются комплексными величинами и чаще всего представляются в такой форме:

V = icoL)(G-f icuC) = а -f i р.

= z.

(2.19) (2.20)

G+\(uC

Величина у характеризует степень изменения напряжения О и тока / вдоль линии и называется коэффициентом распространения. Действительная составляющая величины у называется к о э ф ф и ци е н то м затухания а, а мнимая составляющая-коэффициентом фазы р. Выразим аир через первичные параметры передачи R, L, G п С. Используя ур-ния (2.7) и (2.19), можно написать: а+= У {R (G-bojC)

и а-р2 = RG - <!)LC. Решая эти уравнения относительно аир, получаем

а= ]/[у {R + (G + «2 С) - (со LC - RG)] , (2.21) 6 = У\- [У {R + «2 L) (G -f а? C-) -f {а? LC - RG) ] .

(2.22)

При высоких частотах формулы для аир могут быть упрощены. Для получения этих формул представим ур-нйе (2.7) следующим образом:

Y= YlR+\aL)(G-f icoC) = icoKZfl -i ~Y

X 1 -i-

Раскладывая двучлены, заключенные в скобки, в биноминальные ряды, перемножая их и пренебрегая малыми членами, получаем:

(2.23)

(2.24>

Эти формулы дают погрешность не более 1%, если (i>LIR3,b, и не более 3%, если (uZ, ?2. При радиочастотах эта погрешность будет практически ничтожна.

Уравнения (2.15) и (2.16) с учетом того, что (ev«-be-v)/2 = = ch Y X, (el* - е"1зс)/2 = sh у л:, можно переписать так:

i/ = f/j, ch Y л: - в sh у

(2.25> (2.26)

Эти уравнения, называемые основными уравнениями передачи, позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии. Если необходимо определить напряжение Ui и ток /г в конце линии длиной х=1, то из этих уравнений получим:

i, = I,chyl-shyl. Аналогично напряжение и ток в начале линии будут: Ua-Uichyl + iiZshyl, i.ii chyl+-J-shyl.

(2.27) (2.28)

(2.29) (2.30)

Допустим, что на конце линии включен приемник с сопротивлением Z,. Тогда между током /, и напряжением Ui существует соотношение: Ui = fiZi. Полагая далее, что генератор, включенный в начале линии, имеет электродвижущую силу Е и внутреннее сопротивление Zo, получим следующее выражение для напряжения Uo в начале линии: Ua=E-hZo. Используя эти равенства, из-ур-ний (2.27) и (2.28) можно получить, что ток в конце линии будет равен

/ i (2.31)

(Z„ + Zz)chv/+ (B + -j*Y/

Если Zo=Z,=Zb, то напряжение в начале линии будет

0 = Ё12 = /oZb. Подставив это значение в ур-ния (2.15) и (2.16), получим.-

t/ = C/„e--,/ = f e- Сравнивая эти выражения с ф-лами (2.17) и (2.18), видим, что при согласованных нагрузках напряжение и ток в линии определяются таким же образом, как и в случае бесконечно длинной линии.

Для линий передачи при высокой частоте будут справедливы неравенства /?<a)L, G<a)L. В этом случае, пренебрегая сопротивлением и проводимостью изоляции, из ф-л (2.19) и (2.20) получим следующие выражения для коэффициента распространения и волнового сопротивления:

Y=ip = iwKZr, а = 0. (2.32)

2з = VUC: (2.33)

Пренебрегая сопротивлением и проводимостью изоляции, получаем при высоких частотах затухание линии, равное нулю. В действительности же затухание линии при высоких частотах вследствие увеличивающихся потерь существенно возрастает. Поэтому такое допущение (а=0) будет справедливо лишь при небольших длинах линии. Однако анализ линии без потерь имеет в технике высоких частот важное практическое значение, так как при этом значительно упрощаются уравнения передачи, позволяющие производить качественный, а в ряде случаев и количественный анализ происходящих процессов.

Уравнения передачи для линии без потерь легко получить из ур-ний (2.25) и (2.26), если использовать равенство (2.32) и иметь в виду, что chipx = cospx, shi px=isin рх. Производя соответствующую подстановку, получаем

(2.34) (2.35)

[/ = cos р X - i з sin р X, /=/oCospx -i-sinpx.

Аналогично для напряжения и тока в конце линии длиной / в соответствии с выражениями (2.27) и (2.28) можно написать:

= fyocospz -i VeSinpJ, (2.36)

= /о COS р / - i sin р /.

(2.37)

Выражения для напряжения и тока в начале линии имеют вид i/o = t/icosp/-f i/jZeSinp/, (2.38)

(2.39)

/o = /iCosp/ + i-sinpL

2.3. ПАДАЮЩИЕ, ОТРАЖЕННЫЕ И СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Основные уравнения передачи показывают, что процесс передачи энергии в линии имеет волновой характер и может быть представлен в виде падающих и отраженных волн. Действительно из ур-ний (2.15) и (2.16) легко написать следующие выражения для падающих и отраженных волн напряжения и тока в конце линии {х= 1):

/ Up + IdZb -уi f Up-/рв

паД о 7 е , OTP о 7

(2.40> (2.41>

пал - 2Zb "Р 2Zb

Тогда уравнения передачи можно записать в форме

Ot = f/пад + f>oTp, h = /над " (2.42>

Имея в виду, что /пад= пад/в И /отр= отрДв, получасм:

t/пад = (О, + Ze/,)/2, f/o,p = {иi - Zjt)l2. (2.43)

Аналогичные зависимости можно получить и для тока.

Отношение напряжения или тока отраженной волны к напряжению или току падающей волны «азывается коэффициентом отражения Г. Используя выражения (2.43), можно написать

Имея в виду, что Ui = ZiIi, где Z; - сопротивление нагрузки, получим

А Zl-Zg

Zi + Zb

(2.44)

Из этого выражения следует, что соотношение между амплитудами и фазами отраженной и падающей волн напряжения и тока в конце линии зависит исключительно от соотношения между волновым сопротивлением линии и сопротивлением ее нагрузки.

Выражение (2.44) показывает, что коэффициент отражения в общем случае является комплексной величиной. Модуль коэффициента отражения Г для пассивных систем не превышает единицы. Когда Г веществен и положителен, это значит, что падающая и отраженная волны совпадают по фазе. Когда Г веществен и отрицателен, это значит, что обе волны находятся в противофазе. Мнимость коэффициента отражения означает сдвиг фаз на л/2.

Уравнения (2.42) показывают, что следует различать коэффи циенты отражения для напряжения и тока. Из этих уравнений следует, что отношение амплитуд падающей и отраженной волн тока отличается знаком от подобного отношения для волн напряжения. Поэтому и коэффициент отражения по току будет отличаться знаком от коэффициента отражения по напряжению.

Из ф-лы (2.44) следует, что при Z, = 0, т. е. при коротком замыкании линии, коэффициент отражения Г = -1, при Z;=oo, т. е. при холостом ходе Г=1, а при Z; = Zb Г=0. В последнем случае, когда волновое сопротивление линии по модулю и по фазе равно сопротивлению нагрузки, отраженных волн не будет и в линии будет режим бегущей волны. Этот режим работы является наиболее важным режимом работы почти каждой линии передачи.