Случай Г-1 называется полным отражением. При полном отражении амплитуды отраженной и падающей волн равны. При •сложении одинаковых амплитуд падающей и отраженной волн «синусоидального напряжения образуется стоячая волна напряжения, а при сложении падающей и отраженной волн тока - стоячая волна тока. В точках, где складываются максимальные значения падающей и отраженной волн тока или напряжения, будут пучности тока или напряжения, а в точках, где эти значения вычитаются, будут узлы тока или напряжения.

В стоячей волне амплитуда колебания является периодической <функщ1ей координаты, а в бегущей волне амплитуда колебания постоянна. Другим отличительным признаком стоячей волны яв--ляется то, что фаза колебания стоячей волны постоянна на участке между двумя узлами, а вдоль всей линии фаза меняется периодически, принимая попеременно значения О и я. В бегущей волне фаза колебания является линейной функцией координаты.

При нагрузке линии на активное сопротивление коэффициент отражения Г будет величиной действительной. Величина напряжения в пучности (максимум напряжения) будет равна [/макс = = i пад + I f/oTp, а в узле (минимум напряжения) будет равна /м11н= I /пад -I f/oTp. Максимумы напряжения (пучности) и минимумы напряжения (узлы) будут отстоять друг от друга на расстоянии Л/2.

Имея в виду, что отр =Г [/пад, можно написать:

мзкс I гид I

+ {>отр = пад1(1+Р),

отр I

Пад1(1-Р).

Отношение

„и„/макс = (1-Г)/(1 +Г)=КБВ

называется коэффициентом бегущей волны.

(2.45) Величина

1/КБВ, обратная коэффициенту бегущей волны, является мерой рассогласования и называется коэффициентом стоячей волн ы. Таким образом, коэффициент стоячей волны определяет-•ся по формуле

Ц- Г 1

КСВН =

(2.46)

1 - г КБВ

Как видно из ф-л (2.45) и (2.46), коэффициент бегущей волны не может быть больше 1, а коэффициент стоячей волны - меньше 1.

Коэффициенты бегущей и стоячей волн могут быть определены путем измерения кривой распределения напряжений вдоль линии, например, с помощью так называемой измерительной линии. Коэффициенты бегущей и стоячей волн имеют большое значение в технике линий высоких частот. Зная, например, КСВН и КБВ, легко определить на высоких частотах затухание линии. Для этого необходимо подключить генератор к короткозамкнутой ли-

I НИИ и определить амплитуды падающей t/пад и отраженной [/отр. f волн напряжения. Тогда коэффициент затухания линии длиной /

определяется по формуле

I t/пад I

а = -1п! Имея в виду, что

\0пая1 l-fKBB

If/,

отр I

1-КБВ

1 + КСВН КСВН - 1

получаем:

21 1 - КБВ

4,325 jl-b КСВН

(2.47)-.

(2.48>-

(2.49>

I КСВН -1

где а - коэффициент затухания, дБ/м; / - длина линии, м.

2.4. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛИНИИ

Входным сопротивлением линии называется отношение напряжения в начале цепи Uq к току в начале цепи /о- Используя ур-ния (2.29) и (2.30) и имея в виду, что Ui/Ii=Zi, получаем

Zgchyl + Zishyl

{2.50}

Это выражение можно представить, применив показательные функции. Тогда

" (Z,+Z,)eV-(Zi-Ze)e-V

Используя ф-лу (2.44), можно написать

-7 -l-re-v

(2.51>

Сопротивление нагрузки Zi может быть различным. На пракг тике всегда стремятся иметь сопротивление нагрузки равным волновому сопротивлению линии Zp. В этом случае не будет отраженных волн, а входное сопротивление линии, как это следует из ф-лы (2.50), будет равно Zp. Следовательно, входное сопротивление в этом случае не зависит от длины линии и в любой ее точке отношение напряжения и тока равно Zb. Для бесконечно длинной линии или электрически длинной линии (а/<13 дБ) входное сопротивление также получается равным волновому. При а/13 дБ сНу/~зЬу н из ф-лы (2.50) следует, что Zj.x.Z. В этом случае на конце цепи хотя и происходит отражение, но отраженные токи очень малы н практически не действуют на изменение соотношения между напряжением и током в начале цепи.

Если сопротивление нагрузки равно нулю (короткое замыкание), то входное сопротивление из выражения (2.50) будет равно

2вх = 2кз = 2о=в1Ьуг. (2.52)

При сопротивлении приемника, равном бесконечности (холостой ход), получим

вх - хх - св - в

thyl

= Zcthyl.

(2.53)

Используя ф-лы (2.51) и (2.52), можно получить формулу для •входного сопротивления в общем случае через параметры холостого хода и короткого замыкания. Разделив числитель и знаменатель ф-лы (2.50) на chyl, получим

Zi + Zthyl

1 +thyl

откуда

7 - 7 +0

(2.54)

Этой формулой удобно пользоваться в том случае, когда известны Zo и Zoo.

Для практических расчетов ф-лу (2.50) целесообразно представить в ином виде. Введем обозначение Z(/ZB = the. Тогда выраже-лие (2.50) можно записать так: 2 th е + th у г -вх - =i + thethv

Имея в виду, что *T-thv j ; получим 1 -f th е th V

2вх = 2зШ(у/ + е). (2.55)

Наличие в этом выражении гиперболического тангенса показывает, что абсолютное значение входного сопротивления и его угол изменяются периодически в зависимости от длины линии и частоты тока. Для практических расчетов целесообразно сделать

некоторые преобразования. Прежде всего, th е =

е= -f е-

j= , откуда

e = -Lln- 2 Zb-Z,

(2.56)

Следовательно, е - величина комплексная: г=с + {(1, где с - действительная составляющая, а d -мнимая составляющая. Тогда аргумент тангенса выражения (2.55) можно записать так:

ylJe = al + ifil + c + id = x + iy, где х = с+а1, y = d + fil.

Таким образом, ф-ла (2.55) перепишется

Z = Zth{x + iy). Зная, что абсолютное значение th{x+iy) равно

th{x + iy) I =УУ-°1 , I I у сЬ2л- + со5 2о

(2.57)

(2.58)

-\- cos 2у

а угол th{x + iy) определяется из соотношения

tg ф, = sin 2/sin 2x, (2.59) получим

I 2вх I = I I г, ф, = фз + ф„ (2.60)

где Zbx, Zb и Г -абсолютные значения входного сопротивления, волнового сопротивления и th{x + iy) соответственно, а фвх, фв и ф( - углы входного сопротивления, волнового сопротивления Hth(x-bir/) соответственно.

Полученными ф-лами (2.55) и (2.57) можно пользоваться для расчета входного сопротивления однородной линии при любом сопротивлении нагрузки, в том числе при коротком замыкании и холостом .ходе. При коротком замыкании х=а1, у=р/, а при холостом ходе х = а1, г/=р/-Ья/2.

Частотную зависимость (или зависимость от длины /) входного сопротивления можно представить в виде двух составляющих: абсолютного значения и угла согласно выражениям (2.60) или действительной (активной) составляющей, равной iZвxicosфвx, и мнимой (реактивной) составляющей, равной ZBxsin фвх-

Из ф-л (2.58) - (2.60) следует, что абсолютное значение JZbxI и угол фвх в.ходного сопротивления с изменением длины линии или частоты изменяются периодически около среднего значения:

Zbx около Zb, а фвх около фв-

Если применяются короткие отрезки линии передачи, затуханием которых можно пренебречь, то, используя выражения (2.38) и (2.39), можно получить следующее выражение для определения входного сопротивления линии без потерь:

z,, = z, =ii±}iM (2.61),

Следует отметить, что волновое сопротивление Zb в этом случае является чисто активным и определяется по ф-ле (2.33).

Для весьма малых длин (контуров) можно положить, что tgf>lpl, и тогда ф-ла (2.61) примет более простой вид

2 2 Zi+ iZsji I 2

1 + i

(2.62)

1 + i-

Рассмотрим далее ряд частных, но практически важных слу-чаев.

2.5. КОРОТКОЗАМКНУТАЯ И РАЗОМКНУТАЯ ЛИНИИ

Напряжение и ток в линии без потерь будут определяться выражениями (2.38) и (2.39). При коротком замыкании напряжение яа конце линии Ui = 0, и эти уравнения для тока и напряжения в

Рис. 2.2. Короткозамкнутая линия без потерь

ггочке на расстоянии х от конца (рис. 2.2) можно записать так: U = il\Z,sinx, (2.63)

4 = /,cosp;t. (2.64)

Полагая, что ток в конце линии меняется по синусоидальному .закону, и имея в виду, что i = e"/2 и волновое сопротивление Zb в линии без потерь является чисто активным, можно написать

"х = /гтЛ sin р л; sin ((й f + -j ,

(2.65)

tjc =/(cosxsinco/. (2.66)

Эти уравнения показывают, что амплитуды тока (IimZaSin рх) я напряжения (/jmcos х) зависят от положения точки х в линии.

Из ф-лы (2.65) следует, что узлы напряжения соответствуют точкам линии, в которых угол рх равен О, я, 2п и т. д. (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Измеиеиие амплитудных значений тока и иапряження в ко-роткоза.мкнутой линии без потерь

Эти значения угла рл: позволяют определить расстояние в долях .длины волны генератора X. Допустим, что х=л. Подставив в это выражение значение р = 2яД, получим х-Щ. Следовательно, узлы напряжения при короткозамкнутой линии будут получаться

на расстояниях от конца линии, равных О, 1/2, Я, ЗЯ/2 и т. д. Пучности напряжения будут получаться на расстояниях от конца линии, равных Я/4, 3 Я/4, 5 h/i и т. д.

Кривая изменения амплитуд тока вдоль линии имеет тот же характер, что и кривая напряжения, но сдвинута на расстояние Я/4 по отношению к первой. Таким образом, узлы тока соответствуют пучностям напряжения, а пучности тока - узлам напряжения.

Уравнения (2.65) и (2.66) показывают также, что фаза напряжения или тока во всех точках проводника одинакова. Действительно, из ф-лы (2.66), например, следует, что в момент времени <й/-я/2 ток во всех точках линии обращается в нуль; в момент времени сй/ = я ток во всех точках линии проходит через максимальные значения. Аналогичным путем можно также показать из ф-лы (2.65), что фаза напряжения во всех точках линии также одинакова. Напряжение и ток в линии сдвинуты по фазе на угол л/2. Следовательно, энергия в «ороткозамкщутой линии передается без потерь.

Произведенный анализ показывает, что в короткозамкнутой линии будут иметь место стоячие волны, отличительным признаком которых являются зависимость амплитуды от места точки на линии и одинаковая фаза всех точек линии.

Входное сопротивление короткозамкнутой линии без потерь в точке X (см. рис. 2.2) в направлении к ее концу может быть определено как отношение напряжения к току в точке х линии. Из ур-ний (2.63) и (2.64) получаем

Z„3 = Zo = UjK = i Z,tg Р л:. (2.67)

Из этой формулы следует, что входное сопротивление коротко-замкнутой линии зависит от волнового сопротивления линии, ее длины и частоты тока (последняя зависимость скрыта в коэффициенте сдвига фазы р=2п/Я=2я, с). Входное сопротивление является чисто мнимой величиной при любой частоте. С физической точки зрения это обусловлено отсутствием потерь в линии.

Зависимость входного сопротивления короткозамкнутой линии от ее длины в соответствии с ур-нием (2.67) показана на рис. 2.4. Формула (2.67) показывает, что от рх-0 до рх=л/2 или от х=0 до л:=Я/4 сопротивление Zq меняется от нуля до бесконечности, так как tgPA:=tgO=0 и tg px=tg п/2-)-оо. При этом сопротивление линии имеет индуктивный характер. При малых значениях р/ можно положить tgp/яР/ и входное сопротивление линии считать равным

Zo = iZ3tgp/«iZ.pZ. (2.68)

Модуль этой величины можно рассматривать как индуктивное сопротивление, равное ©Lskb", величину - как индуктивность катушки, эквивалентной по своему сопротивлению данной коротко-замкнутой линии.