m-го источника мешающего излучения к мощности собственных шумов АР, Ут = У{ит)-вектор волнового фронта сигнала т-го источника с направления Um

Матрица Во характеризует степень неортогональности исходного базиса представления сигналов, который в зависимости от принципа построения РЛС определяется либо элементарными излучателями АР, -либо некоторой диаграммообра-зующей схемой

В главе I было показано, что матрица Во обычно имеет трех- или пятидиагональный вид, причем элементы ее могут быть определены в процессе настройки антенны Это позволяет найти унитарную матрицу преобразования Ло„ приводящую Во к единичной;

т=1 т=1

(2 54)

где Vom-преобразованный вектор коэффициентов передачи каналов АР в направлении т-го источника

Преобразование Ао определяет. замену реальной решетки взаимодействующих элементов (парциальных каналов) эквивалентной решеткой невзаимодействующих элементов В дальнейшем будем считать, что это неадаптивное преобразование выполнено, а индекс нуль опускать для простоты обозначений

Таким образом, задачей являет-ся исследование свойств решений векторно-матричного уравнения (2 50), в котором матрица Впш имеет структуру м

Впш = / + 5} aVV;; / + diag аФм, (2 55)

Фм=[У, V. > Ум]

- матрица (/(XM) векторов-столбцов волновых фронтов М мешающих источников в базисб парциальных каналов АР, / - единичная матрица (КХК) изотропных шумов -

Если угловые координаты мешающих источников не совпадают, то в силу линейной независимости совокупность векторов волновых фронтов {Ут} (т = 1, 2, , М] образует базис М-мерного подпространства При выполнении условия К>М {К - число каналов АР) полное /С-мерное пространство может быть разложено в прямую сумму инвариантных подпространств размерности М и К - М Это разложение реализуется матрицами проектирования (КХК)

Рм = Фм{ФмФм)~Фм, Рк-м = 1-Рм (2 56)

Воспользуемся введенными проекторами и представим уравнение (2 50) в виде суммы проекций

Рк-ыВпРк- mW + РмВпшРм = Pk-mVo + PmVo (2 57)

В (2 57) использованы следующие свойства проекторов

Р р = р2р Рк~м + Рм = 1. Рк-м Рм = 0, Р+Р,

где Р+ -псевдообратная матрица по Муру и Пенроузу [33] Подставляя в (2 57) выражение (2 55), приведем уравнение к виду

Рк-м + {Рм + Фмй1а§а1Фм)Рм = Рк-мУо + РмУо~ (2 58)

Вследствие ортогональности Подпространства 2" размерности К - Ми подпространства размерности М решение уравнения (2 58) представляется в виде суммы решений в соответствующих подпространствах

В подпространстве 2 решение (2 58) реализует согласованную обработку с проекцией опорного сигнала, т е

W£ = Pk-mW=P;c-mV„, (2 59)

где Wb - составляющая оптимального весового вектора W, принадлежащая к подпространству 2, ортогональному всем сигналам мешающих источников

Решение для подпространства Ж найдем из уравнения

{Рм + Фм diag а1Фм) PmW = Рд,У„. (2 60а)

которое с использованием (2 56) преобразуется виду

Фм[(ФжФм)~ + diagam] OPmW = PmV„ (2 606) Отсюда получим

Wm = PmW = {Фм [{ФмФмУ + diag al] Фм}+ РV„. Воспользовавшись определением левой псевдообратной матрицы для

Фм = (ФмФмУФм,

найдем

Wm = Фм {ФмФмУ [{ФмФмУ + diag al]- {ФмФмУ ФжУ„

(2 61)

Таким образом, с учетом (2 59) и (2 61) общее решение уравнения (2 50) может быть представлено в виде суммы проекций решения в ортогональных подпространствах

W = Wi + Wm = [/ - Фм (ФжФм)" Фж] Vo + + фд (ФжФл.)" [{ФмФмУ + diag а„]- {ФмФмУ ФУо

= [{РкмВпшРк-м) + {РмВптРмГ] Ve (2 62)

Полученное разложение оптимального весового вектора совпадает с результатами [1, 16] для случая диагональной матрицы собственных шумов Обобщение этого решения на произ-.вольно коррелированные шумы (если не вводится преобразование Ао (2 54)) легко получить, пользуясь аналогичными преобразованиями В результате найдем

W = Wi +Wm = [/+ BoOMiOMBoOM)" Фм] Во~Ч + + {ВоФм {ФмВоФм) [{ФмВоФмУ + diag alj- X X (ФЖФм)~ ФЖ} V„ == * = [(Рк-мВпшРк~мГ + (РмВипРмГ] Vo, (2 63)

Рм - Во Фм (ФВо Фл,) Фм = Фи {ФмФмУ Фм,

Впщ = Во -f diag атФм

Сравнивая полученные соотношения (2 62) и (2 63) с формальным решением уравнения (2 51), получим

Впш= (Рк-мВитРк-м) + {РмВишРм), (2 64)

т е обратная матрица определяется через сумму обращенных проекций на ортогональные подпространства

Реализация проектирования существенно упрощает вычисление обратной матрицы, так как из (2 62) следует, что для определения векового вектора требуется обратить матрицы размером (МхМ), а при М<К это значительно экономит вычислительные затраты

Сформулируем краткие выводы по полученным результатам

1 При выполнении неравенства К>М полное /С-мерное пространство представления сигналов может быть разложено в прямую сумму ортогональных подпространств, а оптимальный весовой вектор определяется как сумма решений векторно-мат-ричных уравнений в соответствующих подпространствах

2 Обратная ковариационная матрица определяется через сумму обращенных проекций прямой матрицы на oJ)тoгoнaль-ные подпространства ,

3 Вследствие инвариантности проекторов к линейным невырожденным преобразованиям в соответствующих подпространствах полученные соотношения справедливы как для решеток с непосредственной обработкой сигналов, так и после произвольной лучеобразующей схемы

Установим теперь связь Между условно- и безусловно-оптимальными решениями. Для этого покажем, что составляющая безусловно-оптимального весового вектора Wi, = Pk-mVq = - {I - Рм)Уо реализует условно-оптимальную обработку, мак-