" при

к 2, .. , М,

(2 65)

Набор условий W~Vm

симизируя отношение сигнал/шум в направлении Ыог при полном подавлении всех сигналов дискретных мешающих источников. Для этого рассмотрим оптимизационную задачу с ограничениями Определим весовой вектор W, доставляющий максимум выражению

УПУр „ {\;\ = Q, т--

.W;Vo = c

= О означает, что весовой вектор

Wy, максимизирующий qy, должен быть ортогонален всем сигналам мешающих источников Выполнение равенства WVo==

= с эквивалентно ДУ~Уо2= с2 и означает, что энергии принятого сигнала конечна В дальнейшем положим для простоты с=1. Тогда ограничивающие условия можно Записать в виде

(2 66)

где Фм--матрица, определенная в (2 55)

Для решения воспользуемся вариационным методом и составим функционал

L (Wy) -= WBnmWy - Л"

Ф LvrJ

Wy-w;: [ФжУо]л =

1Уо~ J

Wy-W7[®f .Уо]А. (2 67)

где Л -вектор (Л1+1)Х1 неопределенных множителей Лагранжа

Из условия равенства нулю градиента (2 67) по направлению получим

Шу = [Фм.У,]Л (2 68)

Для определения множителей Лагранжа подставим (2 68) в ограничения (2 66)•

ФжФлг ФжУо

[Фм5Уо1А =

(2 69)

1УоФж УоЧ

Отметим, что вследствие линейной независимости векторов Уо, Уь . yf определитель матрицы в (2 69), составленный из скалярных произведений вида У~Уз, является определите-

лем Грама -(грамиан) и отличен от нуля. Из (2 69) следует, что вектор множителей Лагранжа является {М+1)-ш столбцом йатриць], обратнЬй грамиану

Обращение грамиана легко осуществить методом окаймления [30], Если грамиан в (2 69) записать в виде

то обратная матрица ищется также в окаймленном виде

Qm R/M-bl

(2 71)

1 Т.-1.

а = I Vo f - У/оФм {ФмФм) ФЪУо.

Из (2 71) следует, что компонентами вектора Л являются

Л= - ). (2 72)

V )

Подставляя (2 72) в (2 68), найдем

/ (ф~ф)-1ф~уЛ

Wy = [OAi Vol

[1к~Фм (ФмФм) Фм] Vo а = Vo~ [Ik - Фм (ФмФмУ Фм] У о = \{1к- Рм) Vo f

(2.73)

множитель нормировки, равный квадрату модуля проекции Va на ,

Сравнение (2 73) л (2 62) доказывает, что с точностью до постоянной нормировки проекция Wi, безусловно-оптимального вектора W является условно-оптимальным весовым вектором, максимизирующим отношение сигнал/шум при полном подавлении дискретных источников Таким образом, возбуждение АР в соответствии с вектором Wx, создает даграмму направленности е максимальным КНД в направлении Uq при условии формирования нулей в направлениях на мешающие источники Иь

U2, t , Um

в рассмотренной условно-экстремальной задаче набор ограничений вида 0Wy = O определяет требование ортогональности отыскиваемого решения Wy ко всем векторам {Vto} (т. = = 1, 2, . , М), г е к подпространству сигналов мешающих источников Поэтому естественным является совпадение решения Wy с проекцией безусловно-оптимального вектора Wl на подпространство, ортогональное векторам {Vm}

Установленная связь между условными и безусловными критериями оптимизации позволяет использовать проекционные методы для построения достаточно простых и устойчивых в вычислительном отношении алгоритмов адаптивной настройки АР

§ 27 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ВЕСОВОГО ВЕКТОРА В СУММУ ПРОЕКЦИЙ НА ОДНОМЕРНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА И СВЯЗЬ С МЕТОДАМИ СОПРЯЖЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ

Идея разложения /(-мерного пространства представления сигналов на ортогональные подпространства меньшей размерности, изложенная в § 2 6, может быть развита далее с целью упрощения вычислительных алгоритмов и повышения устойчивости решений

Заметим, что разложение оптимального весового вектора на одномерные подпространства естественным образом реализуется в базисе из собственных векторов матрицы Впш Обозначим

t/ = [T, Т,

унитарную матрицу размером КХК собственных векторов Binn Тогда уравнение (2 50) можно представить в виде

или W = A-f/~Vo, где Л -диагональная матрица собственных чисел Вщп

(2 74)

Учитывая ортонормированность базиса {!,}, решение уравнения (2 50) определяется выражением

W- X](l .jC,,.Vo+ Е (2 75)